Question

matu

画像のQ3　(B)と(C)に関しての質問です。
(b)√2がℚ√3　[a+b√3❘a,b∈ℚ]　の要素でないことを示せ
(C)φ : (Q(√2) − {0}, ×) → (Q(√3) − {0}, ×)とφ : (Q(√2), +) → (Q(√3), +)が同型写像であるFunctionφ : Q(√2) → Q(√3)が存在しないことを示せ。
どなたか手がかりでもいいので解き方を教えてください！

3. (16 marks) Given a prime number k, we define Q(√k) = {a+b√k : a,b ≤ Q} ≤ R. This set
becomes a field when equipped with the usual addition and multiplication operations inherited
from R.
(a) For each non-zero x = Q(√2) of the form x = a -
a
a+b√2, prove that x-1
b
=
²-26²
a²26² √2.
-262
(b) Show that √2 Q(√3). You can use, without proof, the fact that √√2,√√3,
are all
irrational numbers.
(c) Show that there cannot be a function : Q(√2)→
> Q(√3) so that
: (Q(√2) - {0}, ×) → (Q(√3) − {0}, ×)
and
6 : (Q(√2), +) → (Q(√3), +)
are both group isomorphisms. Hint: What can you say about (√2 × √2)?

Answer 1

vers

bに関しては、背理法を使えばすぐに示せると思いますよ。

vers

cに関しては、仮に同型写像なら全単射ですが、どちらも全射であることが言えないと思います。なので同型写像ではないと思いますよ

matu

Bでは
√2∈ℚ(√3)とする。
a+b√3＝√2
そのあとどう矛盾を示せば良いのでしょうか？
あと、Cはどうどちらも全射でないと示せばよいのでしょうか？
重ね重ねの質問ですみません

vers

b有理数なので、b=0が確定し、またaも有理数なので0になるが、左辺が0になって矛盾します。

どちらも全射でないことをしめせると思います

matu

何度もすみません。(B)の回答はできたのですが、やはりCでどう二つのFunctionが全射でないと示せばよいのかがわかりません。二つのFunctionのそれぞれのinputとoutputが無限にあってお互いのdomainとrangeが合っているのではないかなと思うのですが、どの観点から全射ではないといえるのでしょうか？

vers

やることはbと同じです。
例えば和に関しても、√3はQ［√2］の二つの要素の和で表せないですね。積も同じです。

matu

Q√2→Q√3はQ√2＝Q√3でないので、√3はQ［√2］の二つの要素の和で表せないからと言ってそれが全射であるかどうかとの関りがよくわかりません。

vers

全射って終域(今回はQ√3)の全ての値がQ√2の２つの要素で表せることです。(定義)
√3はQ√3の要素なので、全射でないです。