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ベクトルと単位円の性質を使うのが問題の意味は分かりやすいでしょう.
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u=(sin(x), cos(x)), v=(sin(y), cos(y))と置くとu-v=(1/2, 1/3)と表せる.
このとき|u|=|v|=1, u・v=sin(x)sin(y)+cos(x)cos(y)=cos(x+y)であることに注意する.
したがってcos(x+y)=u・v=(|u|^2+|v|^2-|u-v|^2)/2=[1^2+1^2-{(1/2)^2+(1/3)^2}]/2=59/72と計算できる.
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いやそうじゃないんだ. 三角関数の単元だからというのなら
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(sin(x)-sin(y))^2+(cos(x)-cos(y))^2=(1/2)^2+(1/3)^2
⇔2-2(sin(x)sin(y)+cos(x)cos(y))=13/36
⇔cos(x+y)=(2-(13/36))/2=59/72.
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この解法もsin^2(x)+cos^2(x)=1とsin^2(y)+cos^2(y)=1をうまく使うという方針で, 実はまったく同じことをやっています.
ありがとうございます。
[訂正]
cos(x+y)となっているところはすべてcos(x-y)に修正してください.