Question

華恋〔かれん〕

この問題がどうしても解けませんでした💦
丁寧に解説していただけるとありがたいです。

[ⅢI 慶応義塾大]
複素数z は等式 |_}|
2- -2
=2を満たす。 複素数平面上で,zを表す点をP(x+yi) とする。
2- -1
点Pから,それぞれ点 A (2), B (1) に引いた線分 PA と PB の長さの比を求めよ。 また,
点Pはどのような図形上にあるか。 図形の方程式を求め,図示せよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

複素平面上にある2点A(α), B(β)の距離AB=d(A, B)=|α-β|です.
***
PA=|z-2|, PB=|z-1|と書けるのでPA/PB=2である.
***
[複素数の性質を利用して解く方法]
z≠1であることに注意する. またz^*でzに対して共役な複素数を表すことにする.
|z-2|=2|z-1|から|z-2|^2=2^|z-1|^2⇔(z-2)(z^*-2)=4(z-1)(z^*-1)⇔3|z|^2-2(z+z^*)=0
⇔|z|^2-(2/3)(z+z^*)=0⇔(z-2/3)(z^*-2/3)=(2/3)^2⇔|z-2/3|=2/3.
したがって点Pは点2/3を中心に半径2/3の円である.
***
[平面幾何の知識で解く方法(アポロニウスの円)]
線分ABを2:1に内分する点C(4/3), 外分する点D(0)をとる.
三角形の内角と外角の二等分線と辺比の関係の逆から線分PCと線分PDは∠APBの内角と外角の二等分線であるといえる.
内角と外角の和は180°なので∠CPD=180°/2=90°[=∠R]である.
円周角の定理の逆から点Pは点2/3[線分CDが直径であることに注意]を中心に半径2/3の円を描く.

華恋〔かれん〕

アスタリスクはnとして考えても大丈夫ですか？

LUX SIT

n乗ではなく, 複素共役の-[上付きバー]です.
[またz^*でzに対して共役な複素数を表すことにする.と但し書きをしました]
つまりz=a+bi, z^*=a-bi
|z|^2=z(z^*)[=a^2+b^2]
ということです.

華恋〔かれん〕

なるほどです！ありがとうございます！