Question

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(a+2b+1)(a²-2ab+4b²-a-2b+1)を工夫して展開してください。

仮に与式を{a+(2b+1)}{a²-(2b+1)a+(4b²-2b+1)}としてaについて整理すると、
3次式の公式(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³を使って計算できるのではないかということは分かります。

そこで私はa³+(2b+1)³と前述の公式に当てはめました。しかしこれだと正答a³+8b³-6ab+1とかけはなれた答えを導いてしまいます。

がちでどうすればいいのですか笑

展開 因数分解 3次式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

やや発展的な展開・因数分解ですが
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc
今年の大学入試でも整数問題と絡めて出題されていましたし, 使えるようになっておきたいですね.
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(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)=(a+2b+1)(a^2+(2b)^2+1^2-a(2b)-2b-a)
=a^3+(2b)^3+1^3-3a(2b)*1=a^3+8b^3-6ab+1となります.

LUX SIT

上の方法が難しいと思えば下のように考えるといいでしょう.
この解き方だと, めるていふ丸さんの発想も生きています.
***
(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)
={(a+1)+2b}[{(a+1)^2-2b(a+1)+(2b)^2}-3a] [bの係数が2なのでこう整理すると考えやすいでしょう]
=(a+1)^3+(2b)^3[例の公式]-3a(a+1)+2b(-3a)[残りで帳尻合わせです]
=a^3+8b^3-6ab+1

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ありがとうございます🙏🏻
ちょうど今下のと同じ解法で答えを出した所です笑
質問をした時点では中かっこまで展開した時に-2bを-4bと見間違えて3次式の公式を使おうとしていました。

私は中かっこの所から2b+1をA、4b²-2b+1をBとおいて解きました笑