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x^n+y^n=a^2(>0)のグラフですが, n=1のときは直線, n=2のときは円ですよね.
nによる凹凸の変化を考えるとn=1/2のときは下に凸な感じになるのは想像できるのではないでしょうか?
[このような見方は大学1年の微分積分学でも役に立ちます]
実際に微分してみると
(1/2)x^(-1/2)+(1/2)y^(-1/2)(dy/dx)=0⇔(dy/dx)=-√(y/x)<0 [単調減少]
-(1/4)x^(-3/2)-(1/4)y^(-3/2)(dy/dx)^2+(1/2)y^(-1/2)(d^2y/dx^2)=0
⇔(d^2y/dx^2)=(1/4)x^(-3/2)+(1/4)y^(-3/2)(dy/dx)^2>0 [下に凸]
であることが分かります.
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別の見方だと原点を中心にπ/4回転してみるといいです. 変換後の座標系をXYとしましょう.
まずX=(x-y)/√2, Y=(x+y)/√2, またはx=(X+Y)/√2, y=(-X+Y)/√2[こちらの座標変換は-π/4回転に相当.]と回転変換が表せます.
一方, √x+√y=2⇔(x+y)+2√xy=4, x≧0, y≧0⇔4xy=(4-(x+y))^2, x≧0, y≧0, x+y≦4と同値変形できるので
2(-X^2+Y^2)=(4-√2Y)^2, Y≧X, Y≧-X, Y≦2√2⇔Y=(1/4√2)X^2+√2, |X|≦2√2
と下に凸な放物線の一部であることが分かります[原点を中心に-π/4回転した図が元の曲線ですね].
ありがとうございます！理解しました
[追加]
一番簡単な方法は√x+√y=2⇔√y=2-√x⇔y=x-4√x+4, 0≦x≦4のグラフを書くことです[自分でやれるはずです].
ただ幾何学的な意味は見えにくいです.