Question

ℎ

青チャートIIの不等式の証明の質問です。黄色線の様に(2)は何故aにa+b,bに-bを代入して良いんですか？青線の様に不等式の形が違うから(2)で「(1)の不等式で~」と使えなくないですか？

OO0。
(2), (3) (1)と似た形である。そこで,(1)の結果を利用することを考えるとよい。
指針> (1) 例題 28 と同様に,(差の式)20は示しにくい。
基本 例題29 絶対値と不等式
(3) la+b+c\<\a\+\bl+,
次の不等式を証明せよ。
(1) la+b|sla|+|b|
(2) lal-|b|sla+b|
基本28
1AF=A°を利用すると,絶対値の処理が容易になる。そこで
A20, B20のとき
A2B→A2B'→A-B'20
CHART似た問題 1 結果を利用
2 方法をまねる
解答
4|AP=A°
4ab|=la||
1(1)(la|+||)°-la+bf=q°+2la||6|+8-(a°+2ab+6°)
=2(lab|-ab)20
la+ofs(la|+||)°
よって
la+b|20, la|+|6|20から
別解 一般に,-la|<aslal, -|b|sbs|b| が成り立つ。
この不等式の辺々を加えて
4この確認を忘れずに。
4A|2A, IA|2-Aから
ーIA|SAS|A
la+b|<la|+|b|
ー(lal+||)Sa+bsla|+|||
la+blsla|+|b|
(2)(1)の不等式でaの代わりにa+6, bの代わりに-6と
-BSASB
→A|SB
したがって
イズーム UP 参照。
おくと
よって Jalsla+b|+||
別解 [1] lal-Tb<Oのどぎ
la+b|20であるから,lal-|6|<la+b|は成り立つ。
[2] lal-|b|20 のとき
la+bf-(lal-lb|)°=d+2ab+8-(α°-2|a|||+6°)
ゆえに lal-|b|<|a+bl
lal-|||<0sla+o
[2] の場合は,(2)の左辺
右辺は0以上であるから、
(右辺)-(左辺)20を示
す方針が使える。
=2(ab+lab|)20
(lal-|6|0°<la+6?
よって
la|-|b|20, la+b|20であるから
[1], [2] から
lal-|b|<|a+b|

(ズーム 絶対値を含む不等式の扱い
UP
注意 ズーム UPのページにおいて,(思考力、
表現力のマークが付いている箇所は,
その内容がそれぞれ思考力,判断力,表現力の育成につながることを意味している。
判断力
絶対値を含む不等式の証明
数学Iでは,絶対値を含む式の扱いにつ
いて O 絶対値 場合に分けるす
なわち,右ののを利用して場合分けし,
絶対値をはずして進める方法を学んだが、
例題 29 はこの方法では対応が難しい
(証明できなくはないが,場合分けの数
が多く煩雑になる)。
そこで,次のように考えていく。
「(1) 指針で書いたように,(右辺)-(左辺)を考えても,20を簡単に示すことができ
ない。ここでは,|●|20 から,(左辺)20,(右辺)20であることに注目し,
例題 28同様に(右辺)°-(左辺)20 を示す方針で進める。
(2) 左辺 |a|-||は負の場合もある。そこで,別解のように, la|-|b|<0と
lal-|b|20 に分け,lal-|b|20 の場合は(右辺)-(左辺)20 を示す方針でもよ
いが,次のように考えると(1)の結果を利用できて,手早く証明できる。
証明する不等式はla|<|b|+la+b|
||S| |+| |と似た形。そこで,(1)の不等式を○+ロ<|O|+||
とみて,○+ロ=aとなるようにBでO=a+b, ロ=ーもとおくと
思考力(判断力
絶対値に関する性質
a (a20のとき)
ーa (a<0のとき)
0 la|20 の lal=
11
③ la|=|-a| O la|2a, la|2-a
6 laf=a°
6
6 lab|=la|||
lal
の|-(b=0)
a
の と同値で,これは(1)の
la|<la+bl+!-b
ここで,|-b=|b|であるから,©の右辺はQの右辺に一致し,うまくいく。
(3) は,(1)の結果を繰り返し2回使うことで,証明することができる。
参考(1), (3)の不等式は 三角不等式 と呼ばれる,数学界では重要な不等式である。
~M へ
例題 29 の不等式の等号成立条件について
(1) 等号が成り立つのは,解答のので等号が成り立つときである。
すなわち |ab|=ab から,ab20のときである。一ab<oのときは lab|>ab
(2) 等号が成り立つのは,(1)の等号成立条件 ab20において, aの代わりにa+6,
bの代わりに-6とおいた,(a+b)(-6)20すなわち (a+b)<0のときである。
(3) 等号が成り立つのは,(1)の等号成立条件 ab20において,bの代わりに6+cと
おいたa(b+c)20, かつ aの代わりにcとおいた bc20のときである。
a(b+c)20ならば
また, bc20ならば(b20 かつ c20)または(bS0 かつ c<0)
よって,a20, b20, c20 または a<0, b<0, c{0のときである。
思考力
(a20 かつ 6+c20) または (aハ0 かつ b+c<0)
O不等式の証明

Answer 1

おーちゃん

(1)の不等式は証明しているので利用しても大丈夫
なので(1)を変形してもその不等式は成り立つのは自明である
|a+b|≦|a|+|b|⇒|a+b|-|b|≦|a|
あとは中の文字を上手くいくようにする
a,bは文字なのでa+b,-bとしても大丈夫です