Question

ぎん

なぜ三角形OACが正三角形と言えるんですか？

図形の性質
スタティ
チャ
3
右の図のように, ZA=30°, ZB=90°, BC=1である
C
直角三角形ABCがある。辺AB上に ZCDB=45° となるよ
130°。
145°
D
B
うに点Dをとる。また直線ABと点Aで接し, 点Cを通る円
と直線CDの交点をEとする。
(1) 線分ADの長さを求めよ。また, ZDAEを求めよ。
基本
(2) 線分AEの長さを求めよ。
標準
aoBA/
(3) 弦ACに関して, 点Eと反対側の弧上に点Pをとる。
応用
人
AACPの面積の最大値を求めよ。
AB=10,
る6
2
A)
AABC
おいて、ZAの二等分
DとするときD
daNa -AN
ん
2)
60°(45': 15°
(し:
ン

9で
よってAE= 6-V2
8-=
10!を
きい。
(3)点Pが線分ACの垂直二等分線上にあるとき、
AACPの面積は最大となる。
ここで、ZAEC=180°-15。×2=150°だから、
2) 書か:
0
(6) x=
1, 2,:
の1つ
ぞれ1枚
ZAPC=30°
よっ
円周角と中心角の関係より, AOC=60°
ゆえに,△OACは正三角形である。
ACとPEの交点をQとすると, OA=AC=2より
2C1X2!
両辺
8
よ。
X=
0Q=V3
よって,△ACPの面積の最大値は
2枚
のう
;×2×(2+V3)=
2+V3 09 (a)
カー
ずれ
P
O
もケA=09-8g
よ
字
0

Answer 1

なゆた

中心角と円周角の関係から
∠AOC=∠APCの2倍で60°

OAとOCは半径なので長さが等しい
つまり
△OACは頂角が60°の二等辺三角形なので
正三角形です

ぎん

正三角形が成り立つ条件は三つの辺が等しい　三つの角が等しいですよね？
これではなく二つの辺とその間の角が正三角形に成り立っていればいいってことですか？
すみません。お願いします。

なゆた

わたしの説明が言葉足らずでしたが
∠OAC(か∠OCA)の大きさを求めてもらうと
納得してもらえるかと。

なゆた

∠AOC=60°・・①
三角形の内角の和は180°だから
残りの2つの角の和
∠OAC+∠OCA=180°-60°=120°・・②

また△OACは二等辺三角形なので
∠OAC=∠OCA・・③

②③より∠OAC=∠OCA=60°・・④

①④より
∠AOC=∠OAC=∠OCA=60°

よって3つの角がすべて等しいので
△OACは正三角形である。