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基本 例題 111 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2)
次のA,国,を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。 ただし,
aくあくeとする。
(A) a, b, cの最大公約数は6
B) あとcの最大公約数は24, 最小公倍数は144
C aとbの最小公倍数は240
4章
17
[専修大]
p.476 基本事項3, 基本110
指針>前ページの基本例題110 と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質 を利用する。
2つの自然数a, bの最大公約数を g, 最小公倍数を 1, a=ga', b=gbとすると
1a'とがは互いに素
2 1=ga'b'
3 ab=gl
(A)から, a=6k, b=6, c=6mとして扱うのは難しい(k, 1, m が互いに素である,とは
仮定できないため)。 (B) から 6, c, 次に, (C) から aの値を求め, 最後に (A) を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,b=246', c=24c' (b', dは互いに素でが<c)とおける。
最小公倍数について 246'c'=144
TSAHO
これから6, c'を求める。
解答
(B)の前半の条件から, b=246', c=24c' と表される。
ただし,が, c'は互いに素な自然数で b<c.
(B) の後半の条件から
これとDを満たすが, c' の組は
の
246'c=144 すなわち b'C=6
gb'で=l
ゆえに
(6, c)=(24, 144), (48, 72)
(b=246', c=24c
(A)から, aは2と3を素因数にもつ。
また,(C) において
240=2*.3·5
最大公約数は 6=2-3
[1] 6=24(=D2° 3) のとき, aと 24の最小公倍数が240 であ
るようなaは
これは, a<bを満たさない。
240=2*-3-5
[1] b=2°-3
[2] b=2-3
これからaの因数を考え
a=2*.3·5
[2] 6=48(=2*.3) のとき, aと 48の最小公倍数が240 であ
a=2°-3-5
a<48を満たすのは p31 の場合で, このとき
30, 48, 72 の最大公約数は6で, (A) を満たす。
(a, b, c)=(30, 48, 72)
るようなaは
ただし p=1, 2, 3, 4
る。
a=30
以上から
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
