Question

Black

2次元確率分布の期待値について
画像のように期待値は定義されています。

これから離散の場合だと
E[X]=Σ[j=1 to r]xj•P(x=xj)と求めることができます。
しかし
E[Y]=Σ[k=1 to c]yk•P(Y=yk)を上みたいに簡単に求めることはできないと思うのですが。
ΣΣの順序交換等も考慮しないといけませんよね？

つまり
E[Y]=Σ[j=1 to r]Σ[k=1 to c]yk•f(xj,yk)からどうやって
E[Y]=Σ[k=1 to c]yk•P(Y=yk)を求められるのでしょうか。
単にE[Y]=Σ[k=1 to c]yk•{f(x1,yk)+•••+f(xr,k)}
=Σ[k=1 to c] yk•P(Y=yk)で良いのでしょうか。
ΣΣって内側のものから計算しないといけないみたいなルールってなかったですかね…頭がこんがらがって…

また連続型の場合についても教えていただけないでしょうか。

E[Y]=∬yf(x,y)dxdy=∫y∫f(x,y)dxdy=∫y•fY(x,y)dyとなりますが(fY(x,y)はYの周辺密度関数)
E[X]=∬xf(x,y)dxdyからどうやって∫x•fX(x,y)dxを求められるのでしょうか。

重積分の順序交換とか気にしなくて良いのでしょうか。

理解力があまりないので丁寧に教えていただけたら嬉しいです。また何回か返信欄で質問するかもしれません。

(x,9) = f(x)fa(y).
X X, Y:独立
Y =yを与えたときのXの条件付き密度関数は
f(z,y)
f(x, v)
h (zl) =
*o
nal .
(z,y) de
18
で定義される。この条件付き密度関数による平均, 分散が Y = yを与えた
こ、
ときのXの条件付き平均, 分散である:
*00
E[Xy] = E[X|Y=y]= |zf(zl) da ,
ional
VIXl] = V[X|Y=v]= _(x-E[X\v]}"A(zl») dx.
18
午 また、X=ェを与えたときの Yの条件付き密度関数,平均,分散も同様
a
である。
4.2 共分散と相関係数
(X, Y) の関数 h(X, Y) の平均は, 確率変数の平均と同様に
O X
E((X, Y)} = |/ Me,y) dF(x,1)
ときで定義され,離散分布と密度型分布に対しては次のように計算される:
r
E{h(X, Y)} = 2と(x;, Ya)f(x;, Uk)
(離散)
j=1 k=1
E(h(X, Y)}
= | T Ma,y)f(x,v) drdy
(密度)。
前述の(E1) - (E4) (19 ページ) と同様な性質に加え,さらに,次の性質が成
り立つ:
(E5)関数が直積のときは, 条件付き平均を使って,ー
E(h(X)h(Y)} = E(E[h(X)|Y]h(Y)).
(E6) X, Y が独立のとき, 関数の積の平均は平均の積に等しい:
E(h(X)h(Y)} = E{h(X)}E{ha(Y).

数学 大学数学 統計学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

離散の場合はシグマの和の順序変更しているだけの話で
有限個ならば自由に順序変更できます。
連続型の重積分の順序変更はc2級を仮定していることから来ています。