Question

下衆

(3)の問題です
f(x)が(x-1)²で割り切れる
↔f(x)=0かつf'(1)=0
の所を詳しく説明して欲しいです。
f'(x)=0になる意味がわからなくて、、

(3) f'(z)=nz"-1-aである。
f(z)がェ-2x+13(z-1)? で割り切れる条件は
f(1)=0かつf(1)3D0
. 1-a-b=0かつn-a=0
答えは,a=n, b=1-n
■研究(3) なぜ微分なのか?
ソ=f(x) のグラフを考えると, このグラフがェ=1で
軸と接するための条件は
e+
f(1)=0 かつf(1)30
であるが,多項式の条件としてはf(z)が(x-1)?で割
り切れる……2となるから,②を①に言いかえること
ができる。
別解(3) [二項定理を利用]
f(x)= {(z-1)+1}"ーaz-b 企 以 合
=[(x-1)?で割り切れる項]+,C(x-1)+1-azーb
条件は~が0(多項式として0)であることだから,
n
a=n, b=1-n

1·11 n は2以上の整数とする.また, a, bは実
数とする。以下の問いに答えよ。
(1) "-azーbがェ-1で割り切れるとき, bを
aを用いて表せ、
(2) ーax-6が2?+x-2で割り切れるとき,
a, bをnを用いて表せ.
(3) 2-ax-bがx?-2.c+1 で割り切れるとき,
a, bをnを用いて表せ.
(17 奈良女大·生活)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

一つ目のf(1)＝0はf(x)が(x−1)^2で割り切れることからある整式Q(x)を用いて
f(x)＝P(x)(x−1)^2 から従います。
次にf'(1)＝0ですが
f(x)＝P(x)(x−1)^2の両辺をxで微分すると
d/dx f(x)＝d/dx P(x)・(x−1)^2＋P(x)・2(x−1)から従います。
今の微分は数3の積の微分法を用いないとできないので結論をまず抑えてください。

(参考)積の微分法　d/dx f(x)g(x)＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)

ぽっきー

または解答にあるように(x−1)^2がf(x)の因数であるからx＝1で重解をもつことからx＝1で接するということになるので
f'(1)＝0が得られます。