Question

Nana

(2)の解説のマーカー部分、どういうことかわかりません
教えてください🙇

S Get Ready
507 nは自然数とする。数学的帰納法によって, 次の等式,
不等式を証明せよ。
数学的帰納法
→Key Point p.186
Sチ59
(2) 2"2n+1

.①とする。
(2) 2">n+1
[1] n=1のとき
(左辺)=2!=2, (右辺)=1+1=2
よって,① はn=1のとき成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立っと仮定する。
すなわち
22k+1
の
n=k+1 のとき, ① の両辺の差を考えると,
②から
2*+1_ {(k+1)+1}>2(k+1)-k-2=k20
よって
2キ+12(k+1)+1
ゆえに, ① はn=k+1 のときも成り立つ。
[1], [2] より, すべての自然数nに対して不等式
のは成り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

2のk+1乗を2×(2のk乗)と考えた上で、仮定を用いて2のk乗をk+1としています。だから、≧になっています。

Nana

ありがとうございます！

Answer 2

Nott

見づらかったら申し訳ないです。
数学的帰納法は、n=1のときに成り立つことを示します。そしてn=kのときに成り立つと仮定して、n=(k+1)のときに成り立つことを示します。

さて、今回の問題では、
「2のk乗が(k+1)以上である」
と言うことを仮定し、
「2の(k+1)乗が(k+1)+1以上であることを示す」
と言う流れになります。
ちなみに不等式の証明は(左辺)≧(右辺)のとき、(左辺)-(右辺)≧0を示せば良いのでした。

「2のk乗が(k+1)以上である」と仮定しているので、2のk乗を(k+1)に置き換えた式は当然、2のk乗の式よりも小さくなります。
(k+1)に置き換えた方の式を簡単にすると0より大きくなったので、2のk乗の式も0以上になるよねってことで証明終了です。

長々と書きましたが質問など遠慮なくしてくださいね。

Nana

ご丁寧にありがとうございます！