Question

あう

画像の解説をお聞きしたいです！

問題 3. 四面体 OABC について,次の問いに答えよ。
(1) 線分 OA の垂直二等分面のベクトル方程式を求めよ。
(2) 線分 OA, OB, OC の垂直二等分面の交点をPとする.Pは線分 AB, BC, CA の垂直二等分面上の
点でもあることを証明せよ、ただし,交点Pが存在することは仮定しても構わない。
※垂直二等分面とは,空間内の2点を結ぶ線分の中点を通り,その線分に垂直な平面のことである。

数学 ベクトル 線形代数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

平面のベクトル方程式は

・平面の法線ベクトル𝒏
・平面上の1点A(𝒂)

を用いて 𝒏･(𝒓-𝒂)=0 で表されます
これを満たすベクトル𝒓の集まりが平面ということです

OAベクトルを𝒂
OBベクトルを𝒃
OCベクトルを𝒄 とすると

(1)
求める平面は
・OAの中点(𝒂/2)を通る
・𝒂に垂直　(法線ベクトルは𝒂)

よって 𝒂･(𝒓-𝒂/2) = 0

(2)
OPベクトルを𝒑とすると

𝒑は
𝒂･(𝒑-𝒂/2) = 0 …①
𝒃･(𝒑-𝒃/2) = 0 …②
𝒄･(𝒑-𝒄/2) = 0 …③
を満たす

② - ① より
𝒃･(𝒑-𝒃/2) - 𝒂･(𝒑-𝒂/2) = 0
⇒ 𝒃･𝒑 - 𝒃²/2 - 𝒂･𝒑 + 𝒂²/2 = 0
⇒ (𝒃-𝒂)･𝒑 - (𝒃²-𝒂²)/2 = 0
⇒ (𝒃-𝒂)･𝒑 - (𝒃-𝒂)･(𝒃+𝒂)/2 = 0
⇒ (𝒃-𝒂)･{ 𝒑 - (𝒃+𝒂)/2} = 0

これは
法線ベクトルがABベクトルで
線分ABの中点を通る平面のベクトル方程式を表すから
点Pは線分ABの垂直二等分面上にあるとわかります

BC,CAについても同様に言えることなので
点PはAB,BC,CAの垂直二等分面上にあります