Question

TAKU

どのように解くのかわかりません。
解き方を教えていただけると幸いです。

問線分 AB を直径とする半円0の弧の上に,
AC=4, BC=3を満たす点Cをとる。
点Cから線分 AB に引いた垂線と線分 AB
の交点をDとし,弧BC, 線分 CD, 線分
BD のすべてと接する円Pが弧BC, 線分
CD と接する点をそれぞれ E, Fとする.
次の各問いに答えなさい。
E
A
0
D
B
(2) 円Pの半径を求めなさい。
A。

Answer 1

鉄

まずは円周角の定理から∠ACB=90°ですね。
AC=4, BC=3とのことですので三平方の定理から直径AB=5が導けます。
また、△ABCについてACとBCが垂直であることから面積が6とわかりますが、ここからABを底辺として見れば高さにあたるCD=12/5と計算できます。
△CDBについて三平方の定理よりBD=9/5ですね。
よってOD= OB-BD=7/10です。
ここで線分OEを補助線として引くと、Pが線分上に乗ります。PからABに垂線をおろし、足をHとすると、Hは円PとABとの接点になっています。
円Pの半径をrとすると、△POHについて、PH=r, OH=r+7/10, OP=5/2-rで、∠PHO=90°ですから三平方の定理よりrの二次方程式
r^2+(r+7/10)^2=(5/2-r)^2
⇔25r^2+160r-144=0を得ます。
これをr>0に注意して解いて、r=4/5と求まります。