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最初に、なぜわざわざ
k(x+y-4)+(2x-y+1)=0
という式を考えるのか、というところから。
やりたいことは、「x+y-4=0と2x-y+1=0の交点を具体的に計算せずに、交点を通る図形の方程式を作る」ことです。
このことを念頭において読んでみてください。
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2直線x+y-4=0,2x-y+1=0の交点を(p,q)とおきます。(ちゃんと求めるのが面倒なので文字でおきました)
すると、(p,q)は直線x+y-4=0上にあるので、
p + q - 4 = 0
また、(p,q)は直線2x-y+1=0上にもあるので、
2p - q + 1 = 0
が成り立ちます。
ここで、①の左辺にx=p,y=qを代入すると、
k(p+q-4)+(2p-q+1) = k・0 + 0 = 0
となるので、x=p,y=qはkの値に関係なく①を満たすことがわかります。つまり、①で表される図形は、kの値に関係なく(p,q)を通ります。
(画像ではp=1,q=3と求めていますが、p,qの値を求めなくても分かることだったのです。)
①の式のままだとxやyがあちこちにあって扱いづらいので、移項して整理したものが②になります。このように変形することで、①は直線を表していることが分かったよと言っています。
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続いて2枚目の画像。といってもやりたいことは先ほどと変わりません。
①と②の交点を(p,q)とおくと、(x,y)=(p,q)は①,②を満たすので、
p^2 + q^2 - 10 = 0
p^2 + q^2 - 12p + 6q + 20 = 0
そして③に(x,y)=(p,q)を代入すると、
k(p^2+q^2-10)+(p^2+q^2-12p+6q+20)
= k・0 + 0 = 0
よってkの値に関係なく、③で表される図形は(p,q)を通ります。
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例えば、「2つの円の2交点を通る直線の方程式を求めなさい」といわれたとき、連立方程式を解いて交点を出して、2点を通る直線を考えて、というのでは大変です。代わりにこの方法を使えば、2交点を通る図形の方程式が一般的にkを用いて表せるので、後はその図形が直線になるときのkを求めて代入すれば良いのです。
ありがとうございます!!
凄くわかりやすいです！