✨ ベストアンサー ✨
解答のどこがわからないですか？①からわからないですか？
すみません、変な時間に寝落ちしてしまって、返信するのが遅くなりました。
まず桁数について考えるために、普段から使っている10進数の小さな数字から考えてみます。例えば、2022という数字は4桁です。4桁の数字というのは1000から始まって9999で終わりますよね。つまり、2022という数字は1000≦2022≦9999を満たすから4桁であると言えるということです。逆に言えば123という数字は1000≦123≦9999を満たさないから4桁ではないのです。(「そんなことしなくても見れば4桁かわかるやん」となると思いますが、ここは受け入れてください)
ただ、1000はキリの良い数字ですが、この9999って数字は扱いにくいですね。これよりかは1足した10000を考えた方が考えやすいですよね。
すなわちNを自然数として、4桁である条件は
1000≦N≦9999ではなく
1000≦N＜10000として考えた方が都合が良さそうです。(もちろんN=10000は4桁ではなく5桁なので、右側は≦ではない)
そんなことしていいの？って思うかもしれませんが、Nは自然数で、9999と10000の間には自然数は存在しないので勝手に1足して＜にしても問題ないのです。
つまり
自然数Nが4桁⇔Nが10³≦N＜10⁴を満たす
が成立します。
ということは、同様の議論を考えたとき、Nがp桁である条件はどのように考えられるでしょうか？上に書いたp=4の場合と比較してやると
Nがp桁⇔10のp-1乗≦N≦10のp乗
となります。
このあたりは、数学IIの常用対数のところで必要になる議論なので、丁寧すぎるくらいで書いたつもりです。(写真のような問題、まだ対数を習っていないと思うので理解できなくてもよいです)
入りきらないので一旦送ります。
我々は10進数の世界で生きてるので、1000や10000が10³, 10⁴となって、「扱いやすい！」と言って喜んでいます。それは、10の○乗となるときにちょうど桁が上がるからです。
でも、2進数の世界の住民や16進数の世界の住民からすれば、10は桁が上がるタイミングでもなんでもないですよね。16進数の星に住む太郎くんにとっては「1からfのうちのaっていう途中の中途半端なダサい数だね」って感じなんです。つまり、n進数の世界でのキリのいい数字はnの○乗であり、n進数での「桁」の概念は、位が上がるnの○乗で考えるべきなのです。
よって、さっき10進数でやったことと同じ議論を行えば、2進数での4桁である条件は
2³≦N≦2⁴
となるのです。
もっと一般的にn進法においてp桁であるという条件は
nのp-1乗≦N≦nのp乗
と書けるわけです。
ここまでが理解できていたら、(1)は不等式で解けるし、(2)の①は理解できたはずです。写真に(1)の解答を一応載せました。
正直に言うと、このあたりは数2の指数・対数をちゃんと習ってから解き直した方が理解が深まると思います。
やっぱり指数のまま解くにしても、指数法則がわかってないとダメだし、写真のように対数で解く方がわかりやすいと思います。やっていることは実質同じですが、対数というのは桁数の大きな数字についても簡単な計算で書き換えられる便利な道具です。
一応説明すると、解答では、無理矢理8進法で10桁であるという条件から出てきた不等式を、2進法で考えたいがために、8=2³として、2を底とする指数に書き換えています。(「aの○乗」のaを「底」(てい)、○を指数という。)
この置き換えで指数法則を用いています。(aのp乗)のq乗=aのpq乗です。
逆に16進数で考えるときは、8から16は、16=8の4/3乗となって面倒なので、16=2の4乗として無理矢理書き換えています。
解説ありがとうございました🙇🏻♀️𓈒𓂂𓏸
とても分かりやすかったです！！
不等号の考え方もよく分かりました！
指数・対数を習ったらもう一度といてみようと思います！
ありがとうございました🙏🏻🙇♀️
(1)は重複順列の考えでやって、出来ました！
不等号を使う考えは全くわからないです…