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【剛体の平面内での運動】 問3.剛体の平面運動として、右図のようにおもちゃのヨーヨーの回転運動を考える。 ヨーヨーを半径Rの円柱体と近似し、質量をM として密度は一様とする。ヨーヨーの重心が 運動する座標系をり軸、ヨーヨーの回転角を0、ヨーヨーの回転軸回りの慣性モーメントを1、 糸の張力の大きさをT、重力加速度の大きさをgとし、鉛直方向の上向きをり軸の正方向とする。 ヨーヨーには重さの無視できる軽い糸が巻きつけられており、糸の他端を手で掴む。 糸 以下の問いの空欄に式を埋めよ。[教科書 PP.120-121 例題 4.12,参照](各1点、計 16 点) 回転 T (1) 手は静止のまま、ヨーヨーが回転しながら鉛直下向きに落下したとする。ヨーヨーの重心の加速度 をa として、ヨーヨーの重心についての並進運動の方程式は、 Mg Ma= My (ア) ょ2
(1)手は静止のまま、ヨーヨーが回転しながら鉛直下向きに落下したとする。ヨーヨーの重心の加速度 をa として、ヨーヨーの重心についての並進運動の方程式は、 d'y Ma = M- Mg (ア) dt? d'o ヨーヨーの回転軸回りの回転運動の方程式は、I (イ) 2) O dt? MR である。 2 ここでI はヨーヨーの回転軸回りの慣性モーメントであり、I= 3 糸がほどけただけヨーヨーは落下し、その落下量はy= -R0 と表せるので、重心の加速度aは2式から、I, R, Tを用 d'y いて表すと、a= (-RO) = dt (ウ) の O dt? の式と3式を用いて、④式の右辺を a,g で表すと、a= (エ) O 従って、落下する加速度aはgを用いて、a= (オ) となる。 の式から、糸の張力の大きさTはMとgを用いて、T= (カ) となる。
(2)手を鉛直上向きに加速度α (α> 0) で振り上げると、ヨーヨーの y 軸方向の重心位置を静止させることができる。 このとき、の式の並進運動の方程式において、a= (キ) となるので、T= の関係が得られる。 (ク) d'e よって2式の右辺でTを消去すると、I dt° (ケ) となるので、 dt? を3式からRとgを用いて表すと、 d°e (コ) dt? d'e 従って、ヨーヨーの重心位置を静止させるために必要な、手を上方へ移動させる加速度o= R- をgを用いて表すと、 dt (サ) である。
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