Question

ログアウト済み

重積分の計算問題です。

( ⅰ ) の計算方法を教えていただきたいです。
(※ ( ⅱ ) は別枠で質問するので、ここでは回答する必要はありません)

そのまま u＝xy、v＝x²－y² と置いても、x, y を u, v を用いてうまく表すことができないです。
また、x²＋y² の形が領域Dに無いので、x＝rcosθ、y＝rsinθ と置いてもうまくいかないです。

回答よろしくお願いします。

問題 3.5.次の重積分の値を求めよ。
(i) /| (° +°)daedy, D:2<ays 4, 1<°-" <9, >0, y>0
( + ) dady, D:a<y<2u, <y<}, >
> 0, y> 0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

v^2＝(x＋y)^2(x−y)^2＝(x^2＋y^2＋2u)(x^2＋y^2−2u)
v^2＝(x^2＋y^2)^2−4u^2
(x^2＋y^2)^2＝4u^2＋v^2
x^2＋y ^2≧0より
x^2＋y^2＝√(4u^2＋v^2)
ヤコビアンの計算は頑張ってください。

ログアウト済み

x²＋y² ＝ √(4u²＋v²) までは理解しました。

ヤコビアンを計算するには、
x, y を u, v を用いてそれぞれ表す (x＝～、y＝･･･ の形にする) 必要がありそうですが、どのような変形をすれば良いのでしょうか？

ぽっきー

x^2＋y^2＝√(4u^2＋v^2)
x^2−y^2＝v
をx,yの連立方程式とみてx,yについてそれぞれ解けばu,vを用いて表すことができます。

ログアウト済み

計算はかなり煩雑でしたが、最終的な積分は簡単な形になって、自分の答えを出せました！
回答ありがとうございます！

Crystal Clear

ヤコビアンの計算ですが、
∂u/∂x ∂u/∂y
∂v/∂x ∂v/∂y
の方のヤコビアンを求めてその逆数とした方が楽です。
x=...,y=...
とする必要がなく、微分計算も楽です。

ぽっきー

補足ありがとうございます。確かにその方が計算は楽になります。逆数を取る操作を自分はよく忘れていたので触れませんでしたが求めたヤコビアンに計算ミスないかの検算として使えますね。