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最初の方針はあっています。
P(x)=x^75-2x^50+3x^25をD(x)=x^2+x+1で割った商をQ(x)、余りをR(x)とすれば、dim D(x)=2ゆえ、R(x)はxの高々一次式。そこで、R(x)=ax+bとおく（a,bは実定数）。このとき、P(x)=Q(x)D(x)+R(x)：☆が成立する。（→このaとbを求めればOK）
ところで、D(x)=0は1の三乗根の虚数解に等しく、このうちの片方をωとおく。このとき、ω^2+ω+1=0（これはωがD(x)の解ゆえ当然成り立つ）、およびω^3=1（これは、1の3乗根であることがわからずとも、両辺にω-1をかければわかる）が成立する。
これらの条件、☆、および因数定理より、
P(ω)=R(ω)（∵☆でD(ω)=0）
ω^75-2ω^50+3ω^25=aω+b
ここで、75≡0、50≡2、25≡1(mod. 3)より、（ω^3=1であるから）
1-2ω^2+3ω=aω+b
ところが、ω^2+ω+1=0ゆえ、ω^2=-ω-1であり、これを代入して
1-2(-ω-1)+3ω=aω+b
5ω+3=aω+b
いま、aおよびbは実定数ゆえ、これは恒等式と見ることができ、a=5、b=3
ゆえに、R(x)=5x+3
（このとき、逆も成り立つ）
（あるいは、ωの共役複素解をω'とすれば、ω'に関しても同様の式が成り立つことから、一致の定理を用いる、という話でも良いと思われる。むしろ、恒等式とするよりも論理的には好ましい可能性がある）
といった感じでしょうか。暗算のまま書いているので間違っていたら申し訳ないです
x^3=1
x^3-1=0
ここで、1^3=0より、これは
x^3-1^3=0
に等しい。
(x-1)(x^2+x+1)=0
x-1=0orx^2+x+1=0
x=1がこの実数解で、虚数解がx^2+x+1=0の解（これを解の公式により解くとωが得られます）。
これが虚数であることは、判別式Dに関してD=1^2-4*1*1=-3<0であることからわかります。
なるほど！よく分かりました！
ありがとうございます！！
丁寧にありがとうございます！！
D(x)=0が三乗根の虚数解に等しいのは何故ですか？