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正六角形の各頂点をA,B,C,D,E,Fとします。
正六角形なので、AB=BC=CD=DE=EF=FA。また各内角はすべて 120°
つまり、△ABF≡△CBD≡△EDFとなり、BD=FD=BFより△BDFは正三角形。
∠BDF=∠DFB=∠DBF=60°
AB=AF、AD=AD、D=FDより、△ABD≡△AFDなので、∠ADB=∠ADF=30°
また、∠CDB=∠CDB=∠EDF=∠EFD=∠ABF=∠AFB=30°であるので、
∠CDA=∠EDA=60°。つまり、ADを結ぶ対角線が内角を二分します。
対角線はAD、BE、CFも各内角を二分することがわかるので、
∠BAD=∠ABE=∠CBE=∠BCF=∠DCF=∠CDA=∠EDA=∠DEB=∠FEB=∠EFC=∠AFC=∠FAD=60°
ADとBEの交点を点Oとすると、∠AOB=∠DOE=60℃より、△AOB≡△DOEかつ正三角形。
よって、AO=BO=DO=EOから、点OはAD及びBEのそれぞれの中点である。
BEとCFの交点をPとすると、同様にして点PはBE及びCFのそれぞれの中点となる。
ゆえに、点Pは点Oと等しいので、正6角形の対角線を結んで得られる6つの三角形は、
正三角形であり、かつ合同である。
細かい所まで教えてくださり、すっきりしました。丁寧なご解答ありがとうございます！
対角線の中点が…というまでもなく、
∠BAD=∠ABE=∠CBE=∠BCF=∠DCF=∠CDA=∠EDA=∠DEB=∠FEB=∠EFC=∠AFC=∠FAD=60°と分かった時点で、
各6つの三角形は残りの中心角が60°の正三角形となるのは明らかですね。（つまり各対角線は1点で交わることもわかります。）