Question

ほのか

(2)は、なぜnを3で割った時の余りで場合分けするのでしょうか。

|Action》連続する m個の整数の積は,m! の倍数であることを利用せよ
3うの整数の中には, 2の倍数,3の倍数がそれぞれ少な
Rdeet)は連続する3つの整数の積であり、この
2 倍数であることの証日
頭出
(2),2n°+3n+nは6の倍数である。
パールは6の倍数である。
逆向きに考える
)の形になる
(a) 6×(
b) 連続する3つの整数の積である
(c)「2の倍数」かつ「3の倍数」である
いずれかを示す。
m
4与えられた式を因数分解
する。
4n-nを因数分解する。
とも1つ含まれるから, 6の倍数である。
とって、パーnは6の倍数である。
2 N=2n° +3n°+n とおくと
N= n(2n°+3n+1) = n(n+1)(2n+1)
の+1) は連続する2つの整数の積であり,n, n+1の
いずれかは2の倍数であるから, Nも2の倍数である。
一般に,連続する m個の
整数の積は m! の倍数と
なる。
18
次に
7) n= 3k (kは整数)のとき
N= 3k(3k+1)(6k+1)
1) n= 3k+1 (kは整数)のとき
N=(3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)
() n= 3k+2 (kは整数)のとき
N=(3k+2)(3k+3)(6k+5)= 3(3k+2) (k+1)(6k+5)
kは整数であるから, (ア)~(ウ)のいずれの場合も Nは3
の倍数となる。
したがって, 2m°+3z°+nは6の倍数である。
(別解)
20
nを3で割ったときの余
りで場合分けして考える。
N=n(n+1)(2n+1)
= n(n+1){(n-1)+ (n+2)}
2n+1= (n-1)+(n+2)
と変形し,連続する整数
の積の形をつくる。
(7-1)n(n+1) および n(n+1)(n+2) は連続する3つ
の整数の積であり,この3つの整数の中には2の倍数,
3の倍数がそれぞれ少なくとも1つ含まれるから, こ
の3つの整数の積は6の倍数である。
よって, その和である 2rパ+3x°+nも6の倍数である。
位勤であることを証明せよ。
I07
7章|eユークリッドの互除法と不定方程式|

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さい先生

nの文字式の値が、6の倍数であることを証明するには、一般的には，
nが6の倍数のとき、6で割ったら1余る数のとき、6で割ったら2余る数のとき、、、、、6で割ったら5余る数のときに場合分けして考えていきます。そうすることで、全ての自然数について網羅できるからです。
しかし、この問題では、最初から偶数であることは明らかになっていますから、3の倍数であることを全ての自然数について成り立つことを証明する方法をとっています。
すなわち、nが3の倍数のとき、3で割ったら1余る数のとき、3で割ったら2余る数のときで全ての自然数が網羅できますから、これで証明もできます。

ほのか

わかりやすい解説ありがとうございます！理解出来ました！