Question

らんたん

すみません。この問題わかる方いらっしゃいますか？
全然わからないので、解答解説お願いいたします。

【問題】 0以外の複素数の成す集合を C* と書く。これは掛け算について群を成す。
H= {z€ C* ||| = 1} とするとき、H は複素数の掛け算に関して C* の部分群を成す
ことを次の手順で示せ。ただし、複素数 2 の絶対値を |2| で表す。
(1) H は複素数の積について閉じていることを確かめよ。
(2) C* の単位元を求め、それがH に含まれることを確かめよ。
(3) 2EHのC* における逆元をえを用いて表し、それが H に属することを確かめよ。
※答えだけでなく、理由も述べること。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

(1)任意のHの元z1とz2をとってくる。
　このとき,z1z2がHの元であることを示すにはlz1z2l＝1であることを示せばよい。
　z1＝cosθ1＋isinθ1,z2＝cosθ2＋isinθ2とおくと
　z1z2＝cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)となり,
lz1z2l＝1およびz1z2はC^＊の元であるからHの元。
(2)C^＊の単位元は1
　任意にC^＊の元zをとってくる。
　このとき,z・1＝1・z＝zとなるため,単位元は1
　また,1はC^＊の元でl1l＝1よりHの元。
(3) z・x＝x・z＝1を満たす時,xをzの逆元であるから　x ＝1/z
　また,1/zがHの元であることを示すにはl1/zl＝1を示せばよい。　z＝cosθ＋isinθとおくと1/z＝z^−1より
　1/z＝cos(−θ)＋isin(−θ)
　よって,l1/zl＝1よりHに属する。

らんたん

ありがとうございます😭✨
すごく助かりました！！！！