Question

あぞ

統計学の偏相関係数について自分の解釈があっているかの確認をしたいのですが、
こればかりは自力ではできないので確認をお願いしたいです。
(画像は参考にした教科書の内容です。ファイルサイズの問題で必要な情報をすべては載せられませんが一応貼ります。)

この教科書の内容は
ある人の数学のテストの点(y)に他の科目の点(それぞれx1、x2、x3とする)が線形的に影響を与えるとして、
y=a0+a1*x1+a2*x2+a3*x3+誤差eという関係が成り立つと仮定する。
テストのデータが20人分あるとして、20人分のeの二乗和が小さくなるようなa0~a3を最小二乗法で計算してx1~x3でyを予測するような回帰モデルを考えるという話がメインとなります。

ここからが解釈に不安があります。
教科書には
次にx1を抜いたx2、x3でy、x1を予測する回帰モデルを考えるとき
x2、x3で予測されるy、x1の値をy、x1の実測値から引いたy、x1の「予測誤差」をu、vとする。
このuとvの相関係数rは偏相関係数とよばれる。
というように書いてあるのですが、

予測されるy、x1の値を実測値から引いた作業は
「y、x1に共通して影響を与えそうな因子がy、x1に与えていると予測される影響力」を実測値から引き、共通点を減らした実測値の相関関係を見ることで
他の因子の影響が無くなったyとx1のデータには相関関係があるのかを調べることができる。

と自分は解釈しました。
しかしこの解釈の中でも説明しきれない部分があります。
「x2、x3の影響」がなぜ予測値と同じになるのかという点です。

以上の計算式の意味の解釈があっているかの確認。
自分では説明できない点の説明をしていただきたいです。
ご助力ください。よろしくお願いします🙇

Gのデータに対して、yおよびxを戦りの像数から下引する次のような
る8,備相関係数
のデータに対して,yおよびえを吸りの象数から下刊する次のような
S
くうか考えられ,それらの影響も限形的であれば、上の1次式のモデルの愛
SyS」
(間題A1.6)。
親がふえるこになる。また,もしこれらの変のうち採力国)が2次関数的
に移響する可能性がある場合には、当のほかにx=という4満日の変数
を予デルに加えておけば、 2次開数的な影響も上のような線格デルにより
分析ることができる。
コーつの重国帰をデルを考える。
-ッ pe
ただし、
Sy S Sy S
エ-dx p+る。
-のとき、最小2堀法によって求めた重回帰式は次のょうになる。
S, S1 S12 S,p
いま去6のように1つの目的変数とp個の説明変数光認を に
n個のデータ(数値)が与えられたとしよう.
S1y S Sg Sp
S=
たたし。
表6 重回帰分析の場合のアータ
22 1 帰分析法
S
S
日的変哉
明
数
S Sp Sp"Sp
S.
S
81式のいかをyおよびからあ,為,Xoの回帰が消去されたときの
偏相関係数(partial correlation coefficient)という。
テータ号
そしてS,は行列式Sの1行」列の余因了(行」列の要素を取り除いて作。
Sは式のSの2行2列2)余国子からさらに1行1列の余因子をと
1
『1
『1 T」
ったもの。
S はSの2行2列の余囚子からさらに1行+1引の余因子をと
2
エ以
た行列式に(一1}* をかけたもの)。
| 式からわかるように00式で小される偏相関係数は(a,る,…,ズ)の影響
を除いたyととの相関係数と考えることができる。同様にしてyとxj-
っかもめ。
1,2,p)の間の偏相関係数を定識することができる。
また。式に小す行列式Sとその余因子を用いると、ル は次のよう!
S , S. も同様に考える。
エ
J= (-arュー+)
, =(ddエ み)
も書ける。(町E A1.7)。
Sie
VS」Sa
51と同様にズ,海。, y からyの値を子測するとき、,た。, とりの
関係を示す一つの数式モデルを設定しなければならない、この数式モデル(予
第1式)を11のように与える,必は- , -…, e だけでは説明しきれない部
分の予測誤差を表す。
『122.p=ー
こおくとき、変数とpの単相相関係数は次のように書ける。
S Sa, Saは行列式Sの1行1列, 2行2列,1行2列の余因子
去8に示すデータで、yおよびから,石のの国帰が消去されした
5aト
ただし、
『121 -ー
-4十aエ,サ角約」十, +山i-6
この式を、線形重回帰モデル(linear multiple regression model} と呼ぶ中
* Sas Ss
例7。
ただ。
ときの偏相関係数()を求めよ。
[解] 例6の解答の中に示す行列式Sと式より
回滑の場合(x,平面上のヵ個の点の集まりドに直線をあてはめたが、重回帰
1、
( , Spー
-1
場合には(, , y)の(ゆ+1)次元空間での の点の集まりに対してき次
S』
VS」S。
元超平面
S--(-は)(カー)。
『yト23-
-6.941×10°
V6171×10×2.011×10
0.623
をあてはめ、それによって説明変数の他x,あ から目的変数の値
を予測する。このときの誤差は式から去?のように表される。

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