Question

マティー

位相空間論の問題、教えて下さい！
これってどうやって証明すればいいのですか？
方針もよくわかりません。。
お願いします。。

問題 63.位相空間 (X,Tx), (Y, T)とその間の全単射f:X→Y について,
VAE Tx, f(A)e Ty → VAE Fx, f(A) e Fy
が成り立つことを示せ、

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

TxはXの開集合、FxはXの閉集合という意味で良いですか？

マティー

恐らくそういう意味ですね。

哲治

それならばこれは有名なトピックですね。
位相空間(X,Tx),(Y,Ty),f:X→Yを写像とする。
fが全単射ならば、fが開写像であることとｆが閉写像であることは同値である。
というトピックですね。
上の文章で書いたことを記号で書けばテキストのようになります。

哲治

方針としてはfが全単射なんで、任意のXの部分集合Aに対して
f[A^c]=f[A]^c
であることと
Gが開集合→←[同値記号]G^cが閉集合
を用いればいいです。

哲治

位相空間論は一度も真面目にやらずじまいでここまで来てしまったので、綺麗な回答は作れませんけれども。
ぶっちゃけある程度の知識あれば十分だし、内田本とかの細かい議論が必要な分野を専攻しなければ
位相の定義、ハウスドルフ、選択公理、コンパクト、完備性、連結(弧状連結)とか最低限でごまかせるかなと思ってここまで来てしまいました。笑

マティー

なるほど！
ご回答ありがとうございます！
参考にさせていただきます！