上限が決まってないので、当てずっぽうでは個数を出すことはほぼ不可能だと思います。
こういうときは、とりあえず文字を置いて数字=文字式の積の形を作る方針で行きましょう。
まず√120+a²=k(kは自然数)とおきます。
両辺二乗して、
120+a²=k²
120=k²-a²=(k+a)(k-a)
k,a共に自然数なので、k+a,k-aは共に120の正の約数。
また、k>0,a>0よりk+a>k-aということも考えると、
(k+a,k-a)の組み合わせは(120,1)(60,2)(40,3)(30,4)(24,5)(20,6)(15,8)(12,10)の8とおり考えられます。しかし、(k+a)+(k-a)=2kでkは自然数より、この2つの数字の和は偶数にならなければいけません。このことを考え候補を絞り直すと、
(k+a,k-a)=(60,2)(30,4)(20,6)(12,10)
(k,a)=(31,29)(17,13)(13,7)(11,1)の4通りとなります。
中学生にしてはかなり難しい問題ですね。もし説明がわかりにくかったらすみません。
