Question

ねえねえ

大学数学、複素関数論、テータ関数に関する質問です。

写真のテータ関数の無限積表示（5.24）の式の1行目の形にどうやってしているのかと、命題5.22の（5.26）の証明を教えていただきたいです。

(b) テータ関数
ヤコビは楕円関数論の研究において, 次の級数を導入した。
9(2) = 22(-1)"-!g"-1/2)" sin(2n-1)Tu
n=1
2(g/4 sin Tu-g/ sin 3Tu+q^/4 sin 5Tu-…). (5.23)
三
これはヤコビの楕円テータ関数(以下単にテータ関数(theta function))と呼
ばれるものの1つである. limd,(u)/2q'/4=Dsin Tu なので, 0,(u) は sin Tu
9→0
の一種の拡張と見ることができる。
伝統的な記号にならって, 以下
2ミe2miu
a=2
q= eir,
と書こう.gl<1だから Imr>0である. このとき(5.23)の右辺は
TiT
2Tiu
9=e
9
2と(-1)"-1gm-1/2)?_2"-1/2 _2-n+1/2
=iこ(-1)"gm-1/2)°n-1/2
n=1
2i
n=-00
= ig4z-1/2 (-1)"g"(n-1)z"
n=-00
と書き直すことができる.右辺に3重積公式(5.22)を用いれば, テータ関数
の無限積表示が得られる:
0,(u) = iq'4z-1/2(1-2) II (1-g"2)(1-g"z-')(1-g")
n=1.
= 2q/4 sin Tu I (1-2g" cos 2Tu+g")(1-g").
三
(5.24)
n=1
命題5.22
0,(u) はuの整関数で 0,(-u) = ー6,(u).
(5.25)
0 0(u) = 0 <
(m,nEZ).
0,(u+1) = -0, (u), 9,(u+t) = -e-mi(r+2u)9, (u). (5.27)
u= m+nT
(5.26)
0
+ 2u)
[証明](5.25),(5.26) は(5.24)から簡単にわかる. また前節の無限積