Question

@??

解答の赤線を引いた部分の意味を教えてください。
この文とその後の式のつながりがよくわかりません

129 Lv. ★★★
解答は202ページ·
f(x) が0<x<1で連続な関数であるとき
「ぜ(sinx)dx= I ["f(sinx)dx
2J。f(sinx)dx
xsinx
が成立することを示し, これを用いて定積分」。3+ sin?r
*T
-dx を求めよ。
0
(信州大)

問題は52ページ
129 置換積分法による計算Lv.★★★
考え方
前半で示した等式が使えるようにS(x) をうまく定めるとよい。
Process
解答
sin の性質
sin(元ーx)= sinx
に着目する
元ーx=tとおくと, x=πーtで
x|0 -
T
dx
=-1
sinx= sin(πー)= sint
dt
0
π
であるから
元ーx=tと置換する
ず(sinx)dx = |(xーt)f(sint)· (一1)dt
(エー)f(sint)dt=xf(sint)dt-」び (sint)dt
定積分の値は積分変数に無関係であるから
同じ定積分をふくむ式
をつくり出す
ず(sin.x)dx = π」f(sinx)dx-」f(sinx)dx
(証終)
: 「(sin.ax)dx = f(sinx)dx
0-1、
「この等式を, f(x)= として用いると)
3+x°
(x) sin.x
du
こnsche.
xsinx
-dx
J。3+ sin°x
de=
d2m入こ-/du.
-dx
J。 3+ sin°x
が成り立ち, u= cos.x とおく と右辺は
1
sinx
。4-cos°x
dx=D
π
*π
T
-du
2
2
-14-u°
1
-)du=D -log|2-u+log|2+u||
T
三
u
2+u
8
log 3
-(log3+1og3) =
-Tπ
8
4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

例えば
∫₁³ x⁴dx = ∫₁³ t⁴ dt = 16
や
∫₀⁴ √(x²-16) dx = ∫₀⁴ √(t²-16) dt = 4π
が成り立つ(同じ形なら文字とは無関係に定積分の値は同じ)ので、文字を変えても問題ないという事を言っています。

わかりにくかったらすみません

@??

分かりやすかったです！ありがとうございます🙇‍♀️