Question

サスケ

図形と方程式です。
画像2枚目の模範解答はx+y=3の時に最大値を取るとしていますが、例えばx+y=2の時に最大値を取る可能性が考慮されていないような気がします。
この解答は正しいのでしょうか？

(最小値についても同様の疑問を抱きました。)

35 xy 平面上の点(x, y) が不等式
x20, y20, 32x+y21
で表される領域内をくまなく動くとき,I=xy+2x+y の最大値と最小値,
およびそれらを与える x, y の値をそれぞれ求めよ。

【解答3)
32x+y21, x20, y>0,
I=xy+2x+y=x(y+1)+(x+y).
…D
…2
0, ②より
(i) ISx(y+1)+3=x(4-x)+3=7-(x-2)°<7.
(等号は x+y=3 かつ x=2 のとき)
(i) I2x(y+1)+120-(y+1)+1=1.
1.3
(等号は x+y=1 かつ x=0 のとき)
最大値は7(x=2, y=1 のとき),
最小値は1(x=0, y=1 のとき).
. Iの
(答)

数2 図形と方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マスティ☆

鋭い質問ですね。不十分な解答です。
kが最大・最小のときにIが最大値・最小値をとる論証が必要です。ちゃんとやるなら、

x+y=k とおくと、
I = (k-y)(y+1) +k
= -y² +(k-1)y +k
= -{y -(k-1)/2} ² +(k-1)² /4 +k
= -{y -(k-1)/2} ² +k²/4 +k/2 +1/4
= -{y -(k-1)/2} ² +(k+1)² /4
ここまで変形すると最大値・最小値の議論ができるようになりますよね。賢明なサスケさんなら分かるかと思うのでここまでの回答にしておきます。

マスティ☆

ミスがあったので訂正します
I = (k-y)(y+1) +k
= -y² +(k-1)y +2k
= -{y -(k-1)/2} ² +(k-1)² /4 +2k
= -{y -(k-1)/2} ² +k²/4 +3k/2 +1/4
= -{y -(k-1)/2} ² +(k+3)² /4 -2

あとこのやり方で議論できるのは最大値ですね。
最小値は
I = (y+2)k -y² -y
y+1>0 よりこれが最小値をとるのはkが最小のときで
k=1 のとき、よって
I ≧ -y² +2
ここから最小値の議論ができます。

マスティ☆

↑この後半のやり方で最大値も議論可能でしたね。
まぁ色んなやり方があるということで。

サスケ

回答ありがとうございました！
画像にあるのは解答例3ですが、解答例1ではxを固定しyのみを変数として見ることで議論を進める方法が紹介されていて、ご提示くださった議論もそれと本質的には同じ種類のものかもしれません。
とても参考になりました。