Question

ぱいなっぷる

答えが間違えてしまっているのですが、計算のどこで
間違っていますか？
教えていただけると助かります！
よろしくお願いします！🙇‍♀️

+1Xx?-3)dx » には-3ガー3)スe [ ゲーュー
ニ
f,3x+1)"dx
。(92+みけd [3;"'+ 3im)。

Answer 1

スクウェア

ｘの範囲が−２〜２のため、奇関数と偶関数に分離
奇関数は０になるから除外して、偶関数を０〜２の範囲で積分し、その数値を２倍にする

これで計算ミスが格段に減る

Answer 2

菅原蓮

最後の定積分の代入の部分。正しくは以下。
(1/12){(48+32-72-72)-(48-32-72+72)}
=(1/12)(64-144)
=-80/12
=-20/3

また、この定積分はこんな面倒な代入作業をしなくても、もっと簡単に解くことが出来る。

f(-x)=f(x)を満たす関数f(x)のことを偶関数といい、グラフはy軸に関して対称である。
f(-x)=-f(x)を満たす関数f(x)のことを奇関数といい、グラフは原点に関して対称である。

また、
(偶関数)×(偶関数)=(偶関数)
(奇関数)×(奇関数)=(偶関数)
(偶関数)×(奇関数)=(奇関数)
さらに
(偶関数)+(偶関数)=(偶関数)
(奇関数)+(奇関数)=(奇関数)
までが全て成り立つ。これは絶対に覚えるべきこと。
ちなみに
(偶関数)+(奇関数)はどちらとも言えない。

ここで、偶関数はグラフを描いたときにy軸対称であるわけだから、
積分区間が[-α→α]のとき、
[-α→0][0→α]の部分は同じ面積を示す。
つまり[0→α]の部分を2倍すれば同じ値になる。
続いて奇関数のグラフは原点対称であるから、
同じように考えると
[-α→0][0→α]の部分を足すと0になる。
これらは一度グラフに書いて確かめて見てほしい。

そのため、今回積分区間が[-2→2]だから、
偶関数の場合は区間を[0→2]にして2倍
奇関数の場合は=0
と出来る。

今回出てきている関数は、
y=xの3乗と2乗と1乗と0乗(定数関数)。
まずはいちばん簡単なy=x^2、これはグラフを書けば当然y軸対称である。つまりこれは偶関数であると分かる。
同様に考えて、y=xとy=x^3はどちらも原点対称。つまりこれは奇関数。
最後にy=-2、これはy軸に垂直に引かれているわけだから、当然y軸対称で偶関数。

ちなみに、y=x^n乗に関しては偶関数と奇関数は一瞬で見分けが付く。
y=x^nでnが偶数なら偶関数、奇数なら奇関数。こう考えるとy=x^3からy=xまでは一瞬で分かりy=-2はy=-2x^0でn=0、つまり偶関数。

よって、
∫[-2→2](x^3+x^2-3x-3)dx
=2∫[0→2](x^2-3)dx
=2［(x^3/3)-3x］[0→2]
=2(8/3)-6
=20/3
計算量を大幅に削減できる。