二項定理とか習ってますかね？
習ってたらこんな感じの説明でわかるかなと思います！
今、手元に紙の用意がなく文面での回答になります。
「(a+b)^n における a^(n-r)・b^rの係数はnCrで求まる」という公式みたいなものがあります。二項定理っていう名前がついてるのでよかったら調べてみてください！この問題はその公式がわかってないとなかなか難しい問題になってます！
今回の場合(1+x)+(1+x)^2+…+(1+x)^nなので、まず最初に(1+x)^nだけの時x^2の係数が何になるかを検討してから、出てきた値のnに2〜nまで代入したものを全て足し合わせると答えが出てきます。
(1+x)^kにおけるx^2の係数は、k個の(1+x)から2個のxを選ぶ場合の数と同じなのでkC₂で求まります。
また、組み合わせの性質上、選ぶ₀C₂や₁C₂は定義されないのでkは2以上となります。
同じことを言葉で無理やり説明するならば、「0個から2個選ぶ」や「1個から2個選ぶ」などの状況はあり得ないからです。
なぜ、kC2で求まるのかわかりません。
またなぜk≧2になるんですか？