Question

ねえねえ

大学数学、複素関数論、ガンマ関数、無限積に関する質問です。
画像の◯の式2つはどう計算したら出てくるのか、命題5.14と比較するととありますがどのように比較しているのかを教えていただきたいです。

-115
[証明] 関数(1+z)e-? =D1-2|2+…はz%30でのテイラー展開に1次の
を収束
が成り立つ、いま1+u,(z) = (1+z/n)e-3m によって u (2)を定めれば, \2
命題5.14 次の無限積は全平面で絶対収束する.
g(2) = i (1+ )em
n=1
n
明] 関数(1+z)e^ =D1-2"/2+…はz%30でのテイラー展開に1次の
O
(|2|Sr)
成り立つ。 いま1+u,(2) = (1+2/m)e-/n によって u,(2) を定めれば, |2|<
Rかつれ2R/r なる限り
R?
len(2)|S M
n?
ゆえにワイエルシュトラスのM-判定法が適用される。
をおesn は零点を持たないから, g(z) の零点は z=-1,-2, … Iに限る。 I
さて,正の実数eに対して,ガンマ関数T(z) はオイラーの公式
1
lim
ニ
T(x)
E >
(5.13)
n→0
n!n*
で与えられる(本シリーズ『微分と積分1』$4.1). 右辺をさらに変形すると
1+ 2+£
n+£
lim n "c
Tg_u
1 2
n→0
n
n
-glog ne
lim e
ニ
k
n→0
k=1
= lim e*(1+1/2+…1/n-logn)ag II (1+-)e.
ニ
n→0
k=1
命題5.14 と比較すると,極限
1
Y= lim (1+
2
-log n) = 0.57721…
n→0
n
が存在することがわかる(これはオイラーの定数と呼ばれる). 以上から z=
が正の実数のとき
1
(5.14)
= e"zi(1+-)e
4/2-
T(z)
n=1

Answer 1

哲治

まず最初は簡単で与えられてるテイラー展開を利用して移項して考えてるだけ。
|(1+z)e^(-z)-1|=|z²/2|+....
より....は２乗よりも高次の項なんで、定数Mを適当にもってきてM|z²|という二次のオーダーで押さえられるというだけ。特に式変形なんかしてません。

哲治

二番目は複素関数論では有名なガンマ関数の無限乗積表示です。
関連記事をアップしておきます。

哲治

続き

ねえねえ

|（1+z）e^｛-z｝-1|=|-z^2/2+z^3/3-…|
≦|z^2/2|+|z^3/3|+…
とするところまでは分かるのですが、高次を2次で抑えられる理由が分かりません。
あと、2つ目は、eの指数の-xlognはどうやったら
x（1+1/2+…+1/n-logn）-x/nになるのですか？

哲治

まず１つ目は基本的なことですけれど、この級数展開はz=0を中心とした近傍で考えてるからです。

哲治

二番目は関連記事の(3)をよく読めればわかります。

哲治

一番目、念のためテイラー展開をwolframで出したのアップしておきますね。

ねえねえ

そもそも1次の項を持たないので〜というところも、持たないことはわかるのですが持たないからそれが成り立つっていう理論がわかりません。
2番目のは、関連記事（3）を見逃していました。最後のeの指数が-x/kなのは、私の添付した画像だと-x/nなのですが、どういうことでしょうか？

哲治

z=0の近傍で考えてるから高次の項は二次の項に比べると微小で無視できるので二次のオーダーで押さえられるということ。

哲治

あなたの資料の○ついた行は誤植ですね。

ねえねえ

誤植だったのですね。よかったです。
ちなみに、1/Γ（z）が正則なことはどこから言えますか？
あと、差分方程式Γ（z+1）=zΓ（z）はどのように求められますか？
1/Γ（z+1）を計算して逆数を取ろうと思ったのですが、どう変形したらいいかわからず出来ませんでした。

哲治

まず前半に関して
まず前提としてガンマ関数自体が正則関数です。
この証明は添付資料参照
そしてガンマ関数の逆数の正則性は無限乗積展開された形から明らかです。 どこにも特異点ないので。

哲治

後半を関して
差分方程式というか、階乗の一般化というトピックなのですけれど、これに関しては定義域の拡張に「解析接続」という操作をしています。
これも関連記事をアップしておきます。

哲治

関連記事です。

哲治

続き

哲治

続き

哲治

最後