Question

りー

数学　確率についての質問です。

画像の問題で、私は上のような考え方をしたのですが答えが合わず塾の先生に質問したところ、下のような考え方をしなさいとのことでした。

そのときに塾の先生が、何分の何×何分の何って計算をするのは順列だから、反対のパターンも計算しなければならない（たとえば袋の中から赤玉1個青玉1個を取り出す確率は3/6×1/5ではなく、3/6×1/5とそれと反対の1/6×3/5の和である）とおっしゃっていました。

ですが、問題文には「同時に」と書いてあるので反対のパターンでも計算する意味がわかりません。また、頭の中でどのような場合にどんな計算をすれば良いかよく分からなくなってきています。

そして順列の意味が分からず調べたところ、高校数学？の内容のようでいまいち意味が分かりませんでした。

そこで質問があります。
●塾の先生がおっしゃられていた順列の場合というのはどのような場合のことでしょうか。
●私の考えのどこが間違っているか教えていただきたいです。

ご回答いただけると嬉しいです。

袋の中に、赤五3個と白玉2個と青玉1個が入っている。
この袋の中から同時に2個の玉を取り出すとき, 取り出した
2個』うち1個か有五である確率を求めなさい
わたしの考え方
(まちがってます)
袋の中から赤五1個、青玉1個を取りだす確率
3
xー
3
30
10
袋の中から白玉1個,青玉1個を取りだす確率
2
こ
30
これらの確率を足して……
5
30
2
t
30
ニ
70
15
30
A. t
と考えました。
塾の先生が言ってった考久方
袋の中から赤玉1個,青玉1個を取りたす確率
話点
3
3
6*5
ニ
6
こ
30
10
30
10
m
こ
10
5
袋の中から自玉1個,青五 1個を取りだす確率
2
90
75
2
15
そ
4 これらの確率
2
3
2
15
15*万
A.

確率 確率の求め方 数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Rose

まず、順列について説明しますね。順列とは並べ方のことです。
例えば1～6のカードを全て並べた時 並べ方は何通りですか？
とあったとします。
この時、
まず、6枚のカードから1つ選ぶ。という動作をします。
次に残った5枚のカードから1枚を選ぶ。
次に残った4枚のカードから1枚選ぶ。これを残りが1枚になるまで繰り返します。
だから6×5×4×3×2×1通りある。(これを6の階乗といい、記号！で表す。)
これを文字で表すと左の画像のようになります。

順列には、(並べ方を変えると意味が変わる)というルールがある。
つまり、
1 2 3 4 5 6と、

2 1 3 4 5 6では、並べ方は違いますよね？
ですが、今回の玉の問題では、
赤と青を引いたとしても、

赤と青と
青と赤でも結局 青玉を引いた という事実が変わらないので、こういうのは順列ではなく、 組み合わせ と呼ばれる式を使います。その公式は、右画像です。

貴方は、左の画像で考えているため、 赤と青を引いたパターンは求められているのですが、
反対のパターン。つまり、青と赤 を引いた時の事を考慮していないため、間違いです。
6分の3×5分の1というのは、 赤と青 を引いた時、
6分の1×5分の3というのは、 青と赤 を引いた時です。 ← 貴方はこれを考慮していないため間違い。

分からないことがあれば聞いてください

Rose

組み合わせ公式分子分母逆でした。すみません💦

りー

ご丁寧な回答をありがとうございます。
Roseさんの出してくださった組み合わせ公式を使ってみると解くことができました！これからもこの公式を覚えて似たような問題を解くときに使っていきたいと思います☺️

Answer 2

なっし

確率で同時にという言葉は1番目と2番目の区別をしないということです。さくらさんの考えは最初に赤を引いて次に青を引く確率になります。
もし、最初と2番目を区別すれば写真のようなパターンになります。しかし区別をしないのだから（同時にだから）1番目が青で2番目が赤でも良いということですね。
順列は場合の数の考え方なので、確率の計算上で説明されると分かりにくいかもしれませんが、樹形図を書くとよく分かるよ。

Answer 3

かい

順列という言葉は恐らく高校で習うのであまり深く考えない方がいいような気もしますが、簡単に言うと、順番を気にするということです。
今回の場合は、赤玉をとってから、青玉を取る場合もあれば、青玉をとってから、赤玉を取る場合もあります。　
このように、先に取るものの順番を考えないといけない時に順列を考えます。

さくらさんの場合は、赤玉を取ってから青玉をとるのは考えていますが、青玉を取ってから赤玉を取る場合は考えていません。白玉と青玉の場合も同様です。

Answer 4

カモナス

　「同時に」というワードに少し惑わされてるのだと思います。結局、同時でも1個ずつでも結果は同じことなので、1個ずつ考えたほうが遥かにわかりやすいです。
　1個ずつ考えたとき、赤1つ青1つと言っても、赤→青と青→赤の2パターン取り出し方があると思います。塾の先生の解き方は、この2パターンを書いているのです。しかしさくらさんは、①だと「3/6×1/5 」と書いており、これだと赤→青のパターンしか抑えることができません。

カモナス

これから高校数学をするにあたっても（もちろん中学数学も）、確率で「同時に」と「1個ずつ」はほとんどの場合で同じものと考えたほうがいいです。