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Gは△ABCの重心なので、BC=12よりBD=DC=6。
∠CAB=90°、∠ABC=30°より、∠ACB=60。
このような直角三角形の辺の比は、AC:BC:AB=1:2:√3なので、AC=6。
△ACDは、AC=GC=6の二等辺三角形であり∠ACB=60なので、正三角形である。
つまり、AD=6
三角形の重心は，各々の頂点と中点を結ぶ線分を2：1に内分する点であるので、
AG:GC=2:1。AD=6であるのでAG(x)=4
とても丁寧にありがとうございます。
理解できました！
少し強引ですが、「三角形の重心は，各々の頂点と中点を結ぶ線分を2：1に内分する点」を知らないとしても、次のように補助線を引くことにより、AG:GD=2:1とわかります。
CGの延長線とABの交点をE、Dから引いたCEとの平行線とABとの交点をF とすると、
BD=DC=6なので BD:DC=1:1。BFとFEは平行線で区切られた線分なので、BF:FEも1:1となります。EはABの中点なのでBE=AE。
つまり、AE:FEは1:0.5=2:1です。
AE:FE=2:1ならばAG:GCも2:1 ですね。