Question

Mathematica

集合と位相について質問です。

A∌f (3枚目の写真)である理由がわかりません。
f=1とするならば、f∈C(I), f(0)=1を満たすからf∈Aではないかと思います。
ですが、f∈Aであるならば反例ではなくなってしまうので、A∌f でなければならないと思います。
なぜ、A∌f なのでしょうか。

(C(I):I=[0,1]上の連続関数全体)

9.集合 A={f€C(I): f(0)=1} は距離空間(C()、d。)の閉集合である
が、(C(I),d.) の閉集合ではないことを示せ。

do(f.9) = max{f(z) - g(x)| e R| reI}, d(f,g)
=| () - 9(z)| dar

次に、距離空間(C(I), di) を考えます。この場合、Aが閉集合でないことを示すた
めに、Aに含まれ d』に関して収束する点列で、極限が Aに含まれないものを構成
して反例を示します。例えば f(z) =1-"、f=1と置けば、f,€Aで子¢Aと
なります。このとき、山に関して lim,-o fn = f が示せれば反例になります。調べ
てみてください。

Answer 1

Crystal Clear

fはf=1でなくて、fn(x)の各点収束先の
f(x)=1(0<=x<1),0(x=1)
なのではないでしょうか

Mathematica

ご回答ありがとうございます!

各点収束で考えたら、C(I)∌f だから A∌f になるという考え方で合っていますか？

f は1つでなくても良いと思って大丈夫でしょうか？

重ね重ねすみません。
もし良ければご回答お願いしますm(_ _)m

Crystal Clear

はい。不連続だからAに含まれないと考えました。

g(x)=1
h(x)=1(0<=x<1),0(x=1)
とすると、d1の距離で
fn→g であり、
fn→h でもある
ことになると思います。
こんなこと大丈夫なのか正直よくわかりません。
一般に距離空間ならば、
d1(g,h)=0⇒g=h
で矛盾ですが、
今回hは結局のところ距離空間に含まれていないので、とりあえずこの矛盾は生じていません。

Mathematica

ご回答ありがとうございます!

確かに矛盾してはいないと考えられますね…!
ありがとうございました。