Question

ジン

おそらく大学受験の問題なのですが、解けないです。
⑴.⑵とも教えてくださったら幸いです。
よろしくお願いします

R.rは0<r<1をみたす実数とする。 xyz 空間に原点O(0, 0, 0 ) と 2点
A(1, 0, 0 ), B(0, 1, 0 ) をとる。
(1) xyz 空間の点Pで条件|PA|=|PB|=PO| をみたすものが存在するような
rの範囲を求めよ。
(2) 点Pが(1)の条件をみたして動くとき, 内積PA.PB の最大値, 最小値を
の関数と考えてそれぞれ M(r), m(7) で表す。 このとき, 左からの極限
lim (1-)9Mr)ー m(7) を求めよ。
アー1-0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ねこさま

(1)
点Pを(x, y, z)と置くと, PAとPBの長さが等しいのでPは平面x=y上にあることがわかります。
この事と|PA|^2=r^2|PO|^2 を用いて, x, z, rを変数とする方程式ができます。
これをrについてr^2=(xとzの式)にできるので, x, zについて最大化・最小化すれば良いです。
(2)
rを固定した時, z≠0でありうるPよりも内積が大きくなる点と小さくなる点がz=0でありうるPとして存在するので, 平面z=0に限定して考えて良い。
|OP|=p, ∠OPA=θと置いて内積を計算すると, rのみの式で表せるので, 最大最小に合わせて符号等を決めて極限を計算すれば良いです。

ジン

ありがとうございます😭