Question

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（2）の解説では
a.b.cの一つが2の場合のみを考えていますが、a.b.cのうち二つまたは全てが2の時は考えなくて良いのですか？

54.〈ビタゴラス数に関する証明〉
正の整数の組(a, b, c)が次の式を満たすとする。
a+が=c
(1) a、6, cのうち少なくとも1つは偶数であることを示せ。
(2) a, b, cのうちに素数ではないものがあることを示せ。
[18 東北大、経(後期"

1が止
54
くビタゴラス数に関する証正明〉
nを自
り、q
背理法を用いる。a、b,cがすべて奇数であると仮定して矛置を導く。
背理法を用いる。 a、b、cがすべて崇数であると仮定して矛盾を導く。 (1)の結果が困ん
る。素数でかつ偶数である数は2であることに注意する。
0 a+が。I の
約
2, b, cがすべて奇数であると仮定すると、 α"、 b"、 cはすべて奇数
である。
このとき、 ① の左辺は個数、 右辺は奇数となり予盾する。
よって、a、6、cのうち少なくとも1つは偶数である。
2)
り矢
*「少なくとも1つは偶数」
の否定は「すべて奇数」
a,b、cがすべて素数であると仮定する。
(1)より a、6,cのうち少なくとも1つは偶数であるから、a、 b、c
のうち少なくとも1つは2である。
[1] a=2または 6=2 のとき
b=2 としても一般性は失われない。
このとき, ①から
*「素数でないものがある」
の否定は「すべて素数」
a+4= c
(c+a)(c-a)=D4 ②
*等式はa"+が= であ
るから、a, bのどちらを2
と仮定しても一般性は失わ
よって
a、cは正の整数であるから
このことと,c+aとc-aの偶奇は一致することから、② を満た
す正の整数a,cは存在しない。
[2] c=2 のとき
このとき,①から α"+6=4 となり、これを満たす正の整数 a、
bは存在しない。
[1].[2] から,a, b, cがすべて素数であり、かつ① を満たすもの
は存在しない。
よって、a, 6, cのうちに素数ではないものがある。
別解 a, 6, cがすべて素数であると仮定する。
c+a>cla
れない。
a= c-6
a= (c+b)(cーb)
よって
のから
6、cは正の整数であるから、c+b, c-bは整数である。
|も ーんと
aが素数であること に注音す )