数学
高校生

(2)の解説では
a.b.cの一つが2の場合のみを考えていますが、a.b.cのうち二つまたは全てが2の時は考えなくて良いのですか?

54.〈ビタゴラス数に関する証明〉 正の整数の組(a, b, c)が次の式を満たすとする。 a+が=c (1) a、6, cのうち少なくとも1つは偶数であることを示せ。 (2) a, b, cのうちに素数ではないものがあることを示せ。 [18 東北大、経(後期"
1が止 54 くビタゴラス数に関する証正明〉 nを自 り、q 背理法を用いる。a、b,cがすべて奇数であると仮定して矛置を導く。 背理法を用いる。 a、b、cがすべて崇数であると仮定して矛盾を導く。 (1)の結果が困ん る。素数でかつ偶数である数は2であることに注意する。 0 a+が。I の 約 2, b, cがすべて奇数であると仮定すると、 α"、 b"、 cはすべて奇数 である。 このとき、 ① の左辺は個数、 右辺は奇数となり予盾する。 よって、a、6、cのうち少なくとも1つは偶数である。 2) り矢 *「少なくとも1つは偶数」 の否定は「すべて奇数」 a,b、cがすべて素数であると仮定する。 (1)より a、6,cのうち少なくとも1つは偶数であるから、a、 b、c のうち少なくとも1つは2である。 [1] a=2または 6=2 のとき b=2 としても一般性は失われない。 このとき, ①から *「素数でないものがある」 の否定は「すべて素数」 a+4= c (c+a)(c-a)=D4 ② *等式はa"+が= であ るから、a, bのどちらを2 と仮定しても一般性は失わ よって a、cは正の整数であるから このことと,c+aとc-aの偶奇は一致することから、② を満た す正の整数a,cは存在しない。 [2] c=2 のとき このとき,①から α"+6=4 となり、これを満たす正の整数 a、 bは存在しない。 [1].[2] から,a, b, cがすべて素数であり、かつ① を満たすもの は存在しない。 よって、a, 6, cのうちに素数ではないものがある。 別解 a, 6, cがすべて素数であると仮定する。 c+a>cla れない。 a= c-6 a= (c+b)(cーb) よって のから 6、cは正の整数であるから、c+b, c-bは整数である。 |も ーんと aが素数であること に注音す )
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