Question

味噌汁

複素数の二次方程式に関する質問です。
x=-1-√3iのとき、x^3-2x^2+8x-3の値を求めよ、という問題で解説に「-1-√3iを解に持つ二次方程式を作って多項式の割り算を活用する」と書かれてあるのですがこれの意味がわかる方、教えてくださると助かります。
お願いします。

二次方程式 複素数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

x=-1-√3i　を解に持つ二次方程式は
→　x+1＝-√3i
→　(x+1)²＝(-√3i)²
→　x²+2x+1＝-3
→　x²+2x+4＝0

x³-2x²+8x-3　を　x²+2x+4　で割ると
商がx-4、余りが12x+13　となりますので、

x³－2x²+8x-3
＝(x-4)(x²+2x+4)+12x+13

と式変形ができます。
x²+2x+4＝0なので、(x-4)(x²+2x+4)の部分はすべて0になるから、
12x+13にx=-1-√3iを代入して

12(-1-√3i)+13
＝-12-12√3i+13
＝1-12√3i

きらうる

この問題は高校範囲なので、高校生カテゴリで聞いた方が良いですよ。

味噌汁

0の項を作ることで、より計算を簡単にしているのですね！解説の文章から分からなかったので助かりました。
ありがとうございました^ ^