Question

Sea

（2）で、y-ax=kと置くまではわかるのですが、「y切片が最大になるのが直線mがPを通る時とPQと接する時」と断定できる理由がわかりません。三枚目の写真の、例えば赤線のようにmを設定するのはなぜいけないのでしょうか。

座標平面上において, 連立不等式
x°+y°+4x-2y-5<0
で表される領域をDとする。
ly2-x+1
(1) 領城Dを図示せよ。
(2) aを定数とする。点(x, y) が領域Dを動くとき, y-axの最大値が7になるようなaの
値を求めよ。

解法の糸口
y-ax=k とおくと, kのとり得る値の範囲は, 座標平面上において直線 y=
ような範囲である。
A(-2, 1), P(-3, 4), Q(1, 0) とする。
yーax=k とおくと, y=ax+k であり, これは傾きがaでy切片がんで
ある直線を表す。この直線を mとする。
直線 m が領域Dと共有点をもつように動くとき, y切片が最大となるとき
に, kの値も最大となる。
よって,このy切片kの最大値が7となるようなaの値を求めればよい。
y切片をが最大になるのは, 直線 mが点Pを通るとき,または,円Cの弧
PQ と直線 m が接するときである。
ここで,線分 AP の傾きは
4-1
-3
より,点Pにおける円Cの接線の傾きはっであるから, 次の(i), (i)に場合

分けをして考える。
(i) a<。のとき
(i) a2;のとき
4J
m、
m
傾き3
kの最大値
kの最大値
P
傾きっ
x
Q
Q
x
(i) azのとき
kが最大になるのは, 直線mが点Pを通るときであるから, 最大値は
k=4+3a
条件より
4+3a=7
a=1
これは a2 を満たす。
() α<のとき
合のとき
kが最大になるのは, 直線 Mが領域Dの弧PQと接するときである。
(x+2)?+(y-1)”=10
ly= ax+7
したがって, kの最大値が7のとき, 連立方程式
からyを消去して得られる xの2次方程式
(x+2)?+(ax+6)= 10
(a°+1)x°+2(6a+2)x+30=0
は重解をもつ。すなわち, ⑤の判別式の値が0になるから
(6a+2)?-30(α°+1) =0
6a°+24a-26=0
9a2112a
19
0

図形と方程式