Question

ケスト

x^3-5＝0の解であるからという説明でない証明を教えて頂けると嬉しいです

5は3次の無理数であることを証明せよ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

無理数の次数の定義は何ですか？
聞いたことないので。

ケスト

無理数の次数の定義かは分かりませんが、整数を係数とする三次方程式の解にはなるが2次以下の解にはならない時3次の無理数というという指定はされています

哲治

x²+ax+b=0を仮定して矛盾を示せばいいわけですね。 一次式の時は解にならないのは自明とします。
無理数×整数は無理数、無理数+整数も無理数
この二つは自明とします。従ってax+bは無理数。
x³=x×ײ=×(-ax-b)=-ax²-bx=-a(-ax-b)-bx
=(-a²-b)x+ab=5(←׳に³√5を代入)
しかし(整数)x+(整数)は無理数より矛盾。
従って二次式の解にはなりえない。
x³-5=0は明らかより三次の無理数。