Question

きみどりsociety

173です。
解説に、「kを定数として方程式①を考えると、①は与えられた二直線の交点を通る直線を表す」とあるのですが、なぜ①は与えられた二直線の交点を通る直線を表すのか、解説の意味がわからないです。
どなたか詳しく教えていただけませんか。

3x-2y+4=0,
ax+3y+c=0
081"
*173 2直線 8.x+7y-19=0, 3x-5y+6=0 の交点と点(-4, 1) を通る直線の方
程式を求めよ。
17A
の古 始a日日」

肝
合
ター3=は+2)
A8-(=4)+7-1-19)+3·(-4)-5-1+6=0
よって
1
k=-
すなわち
3x-5y+21=0
[2] 垂直な直線の傾きを mとすると
このkの値をのに代入して整理すると
4x-27y+43=0
3
m=-1
5
m=-
よって
3S)
ゆえに,求める垂直な直線の方程式は
174 求める点の座標を B(p, 9)とする。
(1) 直線 y=x を見とする。
直線eの傾きは1であり,直線 ABは0に垂直
5
ソー3=-x+2)
すなわち
5x+3y+1=0
1.4-5
p+3
であるから
=-1
別解 点(x1, i)を通り,直線ax+by+c=0に
平行な直線,垂直な直線がo
平行 a(xーx)+6(yーy)%3D0
8+1
国)
ゆえに
p+q-2=0
また,線分 ABの中点
-3 9+5
2
2
は直線
垂直 (xーズ)-alyーy)=0
と表されることを利用する。
(2) [1] 平行な直線の方程式は
3(x+2)-5(yー3)30
e上にあるから
9+5カ-3
2
ゆえに
p-q-8=0
方程式O, ② を連立させて解くと {0 TE
p=5, q=-3
したがって,求める点の座標は (5, -3)
(2) 直線3x-2y+12=0 をlとする。
すなわち
3x-5y+21=0
[2] 垂直な直線の方程式は
-5(x+2)-3(yー3)%3D0
5x+3y+1=0
18AS
すなわち
3
直線0の傾きは であり,直線 ABは息に垂直
172 方程式を変形すると
3 q-5
=-1
2 p+3
であるから
3
ソ=ラ*+2
「a
の
ゆえに
2p+3q-9=0
の
y=ーォー3
C
p-3 q+5
また,線分 ABの中点
)は直線
2
2
ただ1組の解をもつための必要十分条件は,
2直線0, 2が平行でないことであるから
9
aキー
e上にあるから
3. D-3
2
4+5
+12=0
a、3
キ
3
すなわち
2
2
3カ-2q+5=0
方程式0, 2 を連立させて解くと
ゆえに
解をもたないための必要十分条件は, 2直線①,
2が平行で一致しないことであるから
3
37
a 3
p=-
13'
, 9=-
13
C
3
13' 13
37
したがって,求める点の座標は、
すなわち
a=ー2
9
Cキ-6
無数の解をもつための必要十分条件は, 2直線
0, 2 が一致することであるから
175 (1) y=3x+1 から
原点との距離は
3x-y+1=0
a_ 3
C
=2
3
三
10
3
2'
V3+(-1)
9
C=-6
2
すなわち
点(1, 2) との距離は
a=ー
2
V10
V3°+ (-1)? 10
5
173 kを定数として, 方程式
k (8x+7y-19) +(3x-5y+6)=0
を考えると,①は2直線8x+7y-19=0,
3x-5y+6=0の交点を通る直線を表す。
直線の が点(-4, 1) を通るとき
(2) 4x+3y=2から
4x+3y-2=0
2
2
原点との距離は
V4+3
V25
5
数学Ⅱ
|2

数学ii 図形と方程式 2直線の関係 点と直線 4stepii+b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

連立方程式(画像1枚目)を解くと画像2枚目のような解が出ます。この解は2直線の交点です。

連立方程式を解く際に、xもしくはyを消去するためにどちらかの係数を合わせますよね？
それがkに相当します。したがって、
8x+7y-19=0にkをかけて連立方程式の計算過程を辿ると
k(8x+7y-19)+3x-5y+6=0 ー①
を解けば交点の座標(画像2枚目)が出ます。
つまり、①はどんなkに対しても画像2枚目のような解(2直線の交点)をもつことがわかります。

例えば、kを適当に設定します。
k=3とすると①は
27x+16y=51
となり、この直線は2直線の交点(画像2枚目)を通る直線となります。(画像3枚目)

以上から、問題集の解答のことが成り立ちます。

分かりにくかったらすいません

きみどりsociety

ご丁寧にありがとうございます！理解しました！