Question

ZOO

数3の積分の単元です

(4)の問題で、
回答だとsinx=cos(π/2-x)を使っているのですが
cosx=sin(π/2+x)を使った場合は解けないのでしょうか？
また、cosx=sin(π/2+x)を使って解けないとしたら、それはどこから見極めればいいのでしょうか？

例題 7-21
中間期末
出題度
00
2次私大 9
試験出題度
次の問いに答えよ。
=* sin"zdzとする。
nが2以上の自然数のとき,
n-1
オ-2が成り立つことを証
n
明せよ。
(2) 1,の値を求めよ。
(3) 1,の値を求めよ。
π
2
(4)1 sin":rdz
= cos"zdzが成り立つことを証明せよ。
0

法
san'ada-fcos(-de
(-)
解答(4)
Tπ
0dc-sinc=cos
2
Tπ
t:
ー2とおくと,
Tπ
三
2
20
0
2
dt
=-1より, de=-dt
dc
Tπ
t
2

590 7章 積分
fcos1-2la==R0os"t(-d)
t
cos'tdt_
ニ
cos"cde
ニ
よって,題意を満たす。
例題 7-21(4)
答え
o00

数3 数学 積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ログアウト済み

cosx ＝ sin(π/2 ＋x) と変形した後、
t ＝ π/2 ＋x と置くと、t の区間が π/2→π であり、また、dx ＝ dt より、

∫[0→π/2] sin(π/2 ＋x) dx
＝ ∫[π/2→π] sint dt ･･･①

ここで y ＝ sinθ (0≦x≦π)のグラフは、直線 x ＝ π/2 に関して線対称であることを使えば、

(①式) ＝ ∫[0→π/2] sint dt ＝ ∫[0→π/2] sinx dx

と証明することはできますが、2枚目・3枚目の画像の証明と比べるとぎこちないです。

ログアウト済み

【補足】
⑷のような証明問題が出た場合は、

t ＝ (積分区間の上端と下端の和)－x

と置けば解くことができます。

ZOO

返信遅れて申し訳ないです…
丁寧にありがとうございます！
線対称使えばなんとか出来るんですね…
補足もありがとうございます。
解決しました！
めちゃくちゃ勉強になりました！
ありがとうございましたm(_ _)m