Question

あぱ

数学(整数の問題・余りによる分類)で質問です。
(1)は3kとおき(2)は5kと置いている理由を教えて欲しいです。この様に置くことでどんなことが分かるのでしょうか、？

少し前に質問したのですがお答えくださる方が居らず未解決のままなので是非分かる方教えて下さい(；-；)

|12 Lv.★★★
解答は29ページ,
(1)か,2p+1, 4幼+1がいずれも素数であるようなかをすべて求めよ。
(2) q. 2q+1, 4q-1, 6q-1, 8q+1がいずれも素数であるようなgをす
べて求めよ。
ISa+3
i 自
(一橋大)
は また
ら
9

このような場合,整数を余りで分類するとよい。どの数で割った余りで考えればよいかは,
k=1のとき B(5) = (5, 11, 19, 29, 41) であり, すべて素因数分解できる項に着
B5k+1) = (5k+1, 10k+3, 20k+3, 30k+5, 40k+9)
B5k+2)= (5k+2, 10k+5, 20k+7, 30k+11,40k+17)
30歳+5=5(6k+1)より, 30k+5は素数でないから不適。
第6回
12余りによる分類② Lv.★★★
問題は13ページ
キキキ .
素数は無数に存在するので,すべての素数について調べることはできない。
考え方
カ=,3, …と調べてみるとつかめるだろう。
Process
)整数か(22) に対して,3つの数の組を
A(p)=(, 2p+1, 4p+1)
と表すことにする。
(i) p=3k (k=D 1, 2, …) のとき
A(3k) = (3k, 6k+1, 12k+1)
そあり、を22のとき, 3kは素数でないから不適。また。
=1のとき A(3)=(3, 7, 13) であり,すべて素数であるか
ら条件をみたす。
(i)p=3k+1(k=D1, 2, …) のとき
A(3k+1)= (3k+1, 6k+3, 12k+5)
6+3=3(2k+1)より, 6k+3は素数でないから不適。
()p=3k+2(k=0, 1, …) のとき
A(3k+2)= (3k+2, 6k+5, 12k+9)
122+9=3(k+3)より, 12k+9は素数でないから不適。
以上より,求めるかの値はp=3である。
(2)整数q(22)に対して, 5つの数の組を
BG)=(q. 2q+1, 4g-1, 6q-1, 8q+1)
と表すことにする。
(i) q=5k (k=1, 2, …) のとき
解答
整数を3で割った余り
で分類
因数分解できる項に着
目して、素数かどうか
を調べる
整数を5で割った余り
B5)= (5k, 10k+1. 20k-1.30k-1, 40k+1)
あり、を22のとき、5kは素数でないから不適。また。
で分類
数であるから条件をみたす。
i) q=5k+1(k=1. 2, …)のとき
目して、素数かどうか
を調べる
B2(k=0, 1, …)のとき 余5
瞬の 寸章| 第5章 |第6章| 第7| 日章|の口」

いから不適。また。を=0のときB(2)=(2, 5, 7, 11.12
であり、すべて素数であるから条件をみたす。
()- +3(kー0, 1. …) のとき
R54+3) - (54+3,10k+7, 20k+11, 30k+17, 40k+25)
404+25=5(84+5)より。 40k+25は素数でないから不適。
『v)g=5+4(k=0, 1, …) のとき
B5k+4)=(5k+4, 10k+9,20k+15, 30k+ 23, 40k+33)
204+15=5(4k+3)より, 20k+151は素数でないから不適。
以上より、求めるgの値はq=2, 5である。答
第3章 整数
13 p進法
考え方
試
s」
N=c
コ
が成り立つ。
得られるの
ばよい。
解答
10 進法で
なお、丸付き数字は素数でない数を表している。
A(2) =(2, 5, 9)
と3けたと
A(4)=(O, 9, 17)
A(7)= (7, 15., 29)
A(10) = (10, 2D. 41)
A(13) = (13, 27, 53)
N=
「A(3) = (3. 7, 13)
A(6)=(6, 13, 25)
A(9)= (9, 19, 37)
A(12) = (12. 25. 49)
A(8)= ((8). 17, 33)
A(11)= (11, 23, 45)
A(14)= (19. 29, 67)
また,Nを
となるから
N=
ただし、a
整数である
どの
上表より、題意をみたすかの値はp=3のみと予想でき,p>3については
pが3の倍数のとき
pを3で割った余りが1のとき
かを3で割った余りが2のとき
であることがわかる。よって, 3で割った余りでpを分類して考えるという方針をか
pが素数でない数
- 2p+1が素数でない数
-4p+1が素数でない数
49a
. b
となり,2
ので、b=
ることができる。
b=0の
は5の倍
c=2であ
b=6¢
である。
整数より
のより上
核心は
ココ!
以上よ
整数を余りで分類すると, すべての
整数について調べることができる
0

数学 整数 余りによる分類 一橋大学 未解決

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

こういった整数問題は、とっかかりがわからないのであれば、とりあえず代入してみて、何か気づくことがないかを調べてみることです。

pに素数を入れてみましょう。

p=2 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(2,5,9)
9だけ素数にならない

p=3 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(3,7,13)
すべて素数になる

p=5 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(5,11,21)
21だけ素数にならない

p=7 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(7,15,29)
15だけ素数にならない

素数にならない組をよく見ると、素数にならない数字はすべて3の倍数になっています。であるなら、pが素数のときには、3つのうちのどれかが3の倍数が含まれるのではないかと気づくはずです。
よって、3の倍数か否かを調べるために
pが3k、3k+1、3k+2として、それぞれが3の倍数であるかどうかを調べているのです。

もう一つも同じ理由で5kなどで置いています。

あぱ

ありがとうございます！よく分かりました😭

Answer 2

Kuma

(1)では3つの文字式があるため、p=3k,3k+1,3k+2と３つに分けることで、p=3kのときはk>2のとき素数にならない、p=3k+1のときは2p+1が素数にならない・・・とすることで解けます。(2)は5つの文字式があるのでq=5k+1,5k+2・・・と5つに分けることで解くことができます。わからないところはコメントお願いします。

あぱ

ありがとうございます🙇‍♀️🙇‍♀️