Question

HCOOH

この問題なんですけど、(3)以降をどうやって解きますか？不等式の証明系で、｢帰納法を使う｣とか｢前の問題使えそう｣ぐらいは思いつくのですが誘導に全然上手く乗れません。解答までのプロセスを教えて欲しいです。数学強者の方ヘルプです…(; ;)

2を自然数。として,次の各不等式を証明せよ.た\
236
6.2 関数の凹凸と不等式
logz を自然対数。
だし,等号成立条件には言及しなくてよい。
~w
x-a
(1) 0<aく6, asz<bのとき, log z2log a+
(logb-loga)
b-a
(2) a1, az>0 とし, p, pe20, pi+pe=1 のとき,
log(piai+ pea:)2 plogai+pelog a2
Dn20, pi+pe+………+
a1, a2, ………, an>0 とし, p, pa,
Da=1
のとき, log こpa2Eploga,
i=1
i=1
aitazt… +am
(4) a1, a2,
an>0 のとき,
n
(滋賀医大)
GuldePostMAP
仮定
log x は自然対数, n は自然数.(ア,
目標
それぞれの条件のもとで(1)~(4)の不等式を証明する。
(1)いろいろな方法が考えられるが,ここでは平均値の定理を利
用してみる。
(2) aSa: と し, a<az のときは(1)の不等式において,
方法
a=a, b=a2 とおく.
(3) 数学的帰納法を利用する。
大
(4)(3)の不等式で pi=p2=………=pn=ー
とおく。
n
【解 答】
x-a
(1) F(x)=logz-{loga+
(logb-loga)
b-a
8 S-n 8
(ェ>0)
とおくと

1
log b-log a
b-a
ニ
F(2)
F'(c)=0(a<c<6)
となるcが存在し, ①
より F'(z)(x>0)
は単調減少であるから,
F(z)(aSxSb) の増
減は右のようになる。
. F(x)20(aSrsb)
a
C
b
F
0
C
b
a
F
0|7
天
0
y=F'(x)
x-a
. log r2loga+
(log b-log a)
b-a
(2) a,sa2 としても一般性を失わない。
(i) a=a2 のとき; p+p=1 だから
log(pai+ p2a:)=log {(p+pa)a} =log a
Dlog ai+ palog a:=(p+p)loga,=loga」
となって,等号が成立する。
() a」<a2 のとき;
oL
a=a,, b=a2, 北=piai+p2Q2
p2
p」
とおくと,p, p20, p+p=1 だから
a」
I a2
aSeSb
2は2点a,a2 を
p2:paに内分する点
したがって,(1)の不等式により
log(pa」+pea;)
yol d
pait p2a2-a」
21og ai+
-(log a2-log a)
った=121
a2-a1
=log a,+p.(loga:-loga)
=(1-pa)log ai+ Deloga2
=Dlog a,+ palog a2 (":" pi+p2=1)
. log(pai+D2a2) 2かlogai+ palog a2
やDa」+p2a2-ai
=(か-1)ai+paa2
=- p2ai+ p2a2
= Da(a2-a)
(3) log(pa)=2nlog a
i=1
i=1
不等式(*)をnについての数学的帰納法で証明する。
n=2 のときは, (2)より成り立つので, 2以上のあ
極大
8

るnで(*)が成り立つとする.いま
a;>0, pi20(i=1, 2, …,
n+1
呂カ=1
と仮定し,s=pi+pa+……+ pn とおく.ここで
S=0 とすると か=D2=……= Dn=0, Pn+1=1だか
ら(*)でnをn+1 とした不等式は明らかに成り立
つ、そこでs>0 とし
pi
9:ミ
pi+pet………
+ Pn
S
とおくと,(2)の結果と帰納法の仮定より
log(pa)
n+1
=log(sZq:a;+pの+1Qn+1,
9:Qi
i=1
sq:= Pi
ol
gol
2slog(2qa) + P+ logant1
(2)の結果
( s>0, pa+ル0, s+pn+1=1)
s(Eqlog a:) + Dn+ilog an+1
一帰納法の仮定
( g20, qi+q2+…
+ 9n=1)
s(と2 1og a) + Darilogas+1
=S
S
n+1
=1oga
よって, n+1 のときも成り立つっので,すべての
n に対して(*)は成り立つ。
(4)(3)の不等式(*)において
1
P=D2=……= Dni
n
go
とおくと
aitazt………+an
log
n
1
(log a」+log a2+………+log an)

微分積分 数ⅲ