Question

かのん

この問題は、x＝0のときとx≠0の時に場合分けしても解けますか?
このやり方でやろうとしてみたんですけど除外点が上手く出ません…

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重要 例題111
2直線の交点の軌跡
が実数全体を動くとき, 次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか。
m
mx-y=0
x+my-m-2=0 …
O
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

イトカズ

こんな感じでしょうか？m(_ _)m

かのん

とてもわかりやすかったてす！ありがとうございます🙇

Answer 2

みかづ

どうやら除外点が出ない問題のようですね。これは、そもそもなぜ除外点が出てくるのかということから考える必要がありそうです。
そもそものそもそもで、mみたいなの(媒介変数)が入った式による軌跡というものは、実数mが存在すれば2つの式より連立して(x,y)の値がそれぞれ出るわけですよね。このとき、逆に言えば｢mが分からないままで、適当に(x,y)の値を2つの式に代入する｣→｢それを満たす実数mが存在する｣ということが成り立てば｢その(x,y)は軌跡上の点である｣ことが言えます。少しややこしいでしょうか。
簡単に言えば｢実数mの値が存在すればそれによって求められる(x,y)は軌跡上の点である｣ということです。
ここで本題に戻りますが、①の式をm=の形に変形させようとするとxでyを割ることになりますから、x=0とx≠0の場合分けが必要なことはお分かりでしょう。ならばx=0のときどうなるか。①にx=0を代入するとy=0ですね。
ここで大事なのが、上で述べたように点(0,0)が軌跡上の点かは分からないけれど、とりあえず(x,y)=(0,0)を②に代入してみて、②を満たすような実数mが存在すれば点(0,0)は軌跡上の点であるわけです！
よって②に代入すると-m-2=0となり、これを満たす実数m(= -2 )が存在します。よって点(0,0)は除外してはいけない、軌跡上の点であることが分かりました。（m=-2かつ(x,y)=(0,0)は①②のどちらも満たすので）

ざっとこんな感じです。除外点が本当に必要かどうかは、式に代入してみて初めてわかります。
(なんども申し上げますが、それを確かめる過程は、｢1つの式から出てきた除外点っぽい(x,y)の値をもう片方の式に代入してみて、それでもその片方の式で実数m(媒介変数の実数の値)が出てくればその(x,y)は軌跡上の点になる｣ということです。)

軌跡上の根幹に関わる問題だと思います。やはり何か理解し難いようでしたらためらうことなくご質問下さいね。

みかづ

ぎやー！上の方が仰っているように除外点ありますね……すいません説明に夢中で完全に忘れていました……

かのん

詳しく説明ありがとうございます！とてもためになりました！
どちらかの式に当てはまれば除外点ではないということですね！