Question

ペンローズ

マーカーの箇所がどうしてこうなるのかがわからないです、

です。これから, V(t) に対するシュレーディンガー方程式の左辺は
となります。共役をとる操作は共役線形なので,
i=1
-Ar-
U* = >(ea P.)* =Xe-tai P
i=1
i=1
となります。すると,
となのU*U =
i=1
ーiai Pi
e
ei0s Pj
e(a;-a) P,P, = elay-a) 5ig Pj =
こn-
三
i,j=1
i,j=1
i=1
となり,ひはユニタリー作用素だとわかります。 (証明終)
これから,H をハミルトニアンとして,
U(t) := exp
Ht
とすると,U(t) はtERをパラメータとするユニタリー作用素です。 このユニタ
リー作用素には,状態の時間をtだけ進める意味があります。 今,時刻0における
純粋アンサンブルの状態がo €eHだったとして, teRをパラメータとする状
態を
少(t):=D U(t)b)
とします。Hのスペクトル分解を
H=>E,B
j=1
とすると、
U(t) = >
-iEjt/hP;
e
j=1
なので,
le-tEjt/hp,
dt
j=1

を p1:P2:…: Pm, (p1 + p2 + + Pm = 1) で混合したものです。 時刻0でア
となります。右辺のほうは, P;sVo が E; e Spec(H)に対応する固有空間 Fe,k
となります、これから, 少(t) =D U(t)oはシュレーディンガー方程式の解にな。
H(t) = H)eiB,t/hP;gbo = 2 Eje-1E,}/h P;bo
ihニ(t) = とEje-iE,t/h.p,tbo
dt
j=1
属していることに注意すると,
T
Hy(t) = H)e-tB,t/h P;tbo =D Eje-1Ejt/hp.ate
j=1
j=1
となります。これから,φ(t) =D U(t)はシュレーディンガー方程式の超で。
ていることがわかります。
純粋状態のユニタリー時間発展
ハミルトニアンが Hであたえられる系で, 時刻0 で純粋状態 o €Hにあったっ
ンサンブルの時刻tにおける状態は,
(t) = e-iHt/hgo
であたえられる.
e-iHt/h という書き方は, エルミート作用素Hの関数 f(H)で, f(z) = e"
としたもののことです。
密度作用素の言葉で言い換えておきましょう. 純粋状態(t) に対応する密度術
列は,正規直交基底のもとで
一int/h
4(t)(t)
W(t)
U(t)
;U ()t
三
となるので,密度作用素としては
We(t) = U(t)W.wU(t)*
です。ただし,
び()" = (c-#(/a)
です。これは,f(H)* = (F)(H)に注意すればよいです。
一般の状態を考えましょう.一般の状態は、純粋アンサンプルが(1),が,
-1
iHt/h
=e
ンサンブルの状態が

Answer 1

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Crystal Clear

ここでの*と†の定義はなんでしょうか

ペンローズ

どちらも共役を表していますが、✴︎は作用素に、†は行列に付いています

Crystal Clear

〇一つ目のマーカー
1ページ目で
U^* U=I
を示したので、U^*=U^(-1)
そのあと行列の指数関数の性質 (e^A)^-1=e^-A を使う。
もしくは演算子であることを尊重するなら、
(e^A)(e^-A)=I
を演算子Aのスペクトル分解を使って示せばいい。(本質的に1ページでやっている)

〇2つ目のマーカー
関数fをテイラー展開してHを突っ込んだ行列の多項式の共役をとる。Hはエルミートだから係数だけが複素共役になって示せる。

ペンローズ

ありがとうございます