Question

⛄️

この問題の証明の式のところで、両辺を二乗したりしていますが、最初から√7を移項して√7=……の形にするのはなぜダメなのかが分かりません。
√5を消す理由は何ですか？解説お願いします🙇‍♀️

d (*)有理数の和·差·積·商
基本 例題58 背理法による証明
V5+/7 は無理数であることを証明せよ。ただし, V7 は無理数である。
知られているものとする。
100
基る
p.96 基本事項 2)
St do こ
有理数(無理数でない実
無理数(有理数でない実
倍
指針> 無理数である(=有理数でない)ことを直接示すの
は困難。そこで, 証明しようとする事柄が成り立た
ないと仮定して, 矛盾を導き,その事柄が成り立つ
ことを証明する方法,すなわち 背理法 で証明する。
実数
指金
直接がだめなら間接で 背理法
「でない」,「少なくとも1つ」 の証明に有効
CHART 背理法
解答
A/5+V7 は実数であり、
無理数でないと仮定して
るから,有理数である。
V5+/7 が無理数でないと仮定する。
このとき, V5 +、/7は有理数であるから, rを有理数として
V5+/7=rとおくと 15=r-V7
5=r-2/7ァ+7
2/7ァ=+2
両辺を2乗して
0 42乗して, V5 を消す。
ゆえに
は有理数である。
検討
S)33(3F1+5
アキ0 であるから
V7=+2
2r
の
dD
+2, 2rは有理数であるから, ①の右辺も有理数である。
よって,①から、7 は有理数となり, /7 が無理数であること
に矛盾する。
したがって, V5+V7 は無理数である。
5 が無理数であることを仮
定すれば,7 =ャー(5 の商
辺を2乗して,同様に証明で
きる。
80
SSOS+18-4S+4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ひかる

√a の形のものは無理数と知っていますが、
今回の問いで√7は無理数であると指定しているが√5は無理数なのか有理数なのか判別していないので√7以外の平方根は無くすことで証明がスムーズにできます

⛄️

なるほど！！ありがとうございます！！！

Answer 2

ジャスタウェイ

今回与えられている条件は、『√7は無理数』ということです。

もし最初に √7＝ の形にしてしまうと最終的に、√5＝(有理数) というようになり、そこから何も得ることが出来ません。

また、左辺に √5 を寄せてから二乗することにより、邪魔な √5 の項を完全に消去することができるのでチャートのようにやります。

もしも迷ってしまったら、この問題は √5 と √7 の2択なので、実験して先に進める方でやってもいいと思います！

⛄️

分かりやすかったです！！
丁寧にありがとうございました🙇‍♀️🙇‍♀️