Question

ほく

(2)です。答えを解くためにk・nCkの式から始まるのが理解できません。初見でこの式出てくる自信がないです。
どなたか解説(もしくはもっといい解き方)お願いします🙇‍♀️

3 (1)(1+x)"(1+x)"=(1+x) " の展開式を利用して, 等式
Co°+,C,?+……+»C»?=2nCn が成り立つことを証明せよ。
(2) n22のとき,等式,Ci+2, C2+3,Ca+ +n,Cn=n·2"-1 が成り立つことを証
明せよ。
5
1
(3) コである。(3) 近畿大)
(2x--)を展開したとき, すべての項の係数の和は
X
国関国

数学I
-21
大国大
0 (1+x)"(1 +x)"-(1+x)の展開式を利用して, 等式.C&+.CP+…..…+.C。iC,が成り
立つことを証明せよ。
@ n22のとき,等式,C,+2.C,+3.Ca+……+n.C.=n-2"-1が成り立つことを証明せよ。
開式の一
EX
3
*b
|1章
EX
(3)(2x--)を展開したとき, すべての項の係数の和は口である。
((3) 近畿大)
ら+が)
(1)(1+x)"(1+x)"=,Co(»Co+Cix+…+.Cnx")
+,C」x(,Co+wCix+ +,Cnx")
そ(1+x)"
=Co+.C」x+…
+,C,x"(Co+,Cix+… +Cnx")
ゆえに、(1+x)"(1+x)"の展開式において, x" の項の係数は,
CaニC-により
Co*Cn+,C,Cn-1+…+Ch*,Cm-A+…+,Cn*»Co
=,Co"+»C?+…+,C?+…+,C,?
一方、(1+x)"の展開式において、 x"の項の係数は 2nCm
そ展開式の一般項は
2C,x
したがって
Co+,C?+……+.C?=nCm
n!
=5
(2) k,Ca=k
=n
-=nュ-1Ch-1
また
そ(a+b)"!の展開式で
a=b=1とおく。
る 0
pS3
=ュー1Co+ョー」Ci+n-1C2+………+ョ-1Cn-1
p21
よって,これらのことから
C」+2,C2+3 Ca+…………+n,Cn
=n(n-」Co+ョ-1C,+n-1Ca+………+n-iCnー1)
=n-2"-1
そ,Ci=na-iC。など。
←(1)の場合の数の考え
検討(2)を場合の数の考えを利用して解く。
「n人の中から委員を選び(委員は1人以上n人以下とする)。による解答は,本冊p.18
委員の中から1人の委員長を選ぶ」場合の数を,次の
【方法1), [方法 2] の2通りで求める。
【方法 1] まず, n人の中から1人の委員長を選ぶ。その方法は
そのおのおのについて,残りのn-1人には委員になる,ならないの2通りがある
から,求める場合の数は
(方法 2) 委員が1人のとき, 委員の選び方はC」通り。そのおのおのについて,委
員長の選び方は1通り。
委員が2人のとき,委員の選び方は,C2 通り。そのおのおのについて、委員長の
選び方は2通り。
3で扱っている。
よ。
n通り。
に分大)
n×2"-1通り
委員がn人のとき,委員の選び方は,Cn 通り。そのおのおのについて,委員長の
選び方はn通り。
よって,求める場合の数は
(方法1] と[方法2] から
C,×1+,Ca×2+……+,C,×n
C」+2,Ca+3,Cュ+………+n,Cn=n·2"-1!
うに、
た。
(3) 展開式の一般項は C.(2x)*(--) =-C,-23-"(-1)x5-2rr=0, 1, 2, … 5で
が成り立つ。
あり,各rの値に対して
とき、
展開式の一般項にx=1を代入すると C 2°-r. (-1)"となり、
C」
ール
から、

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Suya

1・nC₁+2・nC₂+...+n・nCn=n・2^(n−1)

左辺の一般項がk・nCkは数列をやっていればすぐ気づけるのでそんな不思議な発想はしていないと思います。

数列(数学B)がまだであれば今は飛ばした方が良いです。

Answer 2

HS

①示す式の左辺はいかにも二項定理の形である
②①を踏まえると示す式の右辺の2^(n-1)も
　二項定理的である
③k × nCk = n × (n-1)C(k-1) は
　それなりに有名な事実である。

③の式の内容を私は正確に覚えていませんが、
このような書き換えができるということは
覚えているので、この式を導こうと考えられます。

解説の委員と委員長を選ぶ話からも
記憶に残しやすいです。