Question

浪

⑵についてです。
3枚目の写真の解説にはD≦0となっていますが
なぜD<0ではないんですか？
D≦0の場合、傾きが0になる瞬間があり常に単調増加とは言えないと思うのですが

2 関数の値の変化 (2)
重要例題142
関数(x) =x3+ax'+2x+3が次の条件を満たすように, 定数aの値の範囲をそれぞれ定めよ。
(1) 極値をもつ。

(2) 常に単調に増加する。

142 関数f(x) =Dx°+ax°+2x+3 が次の条件を満たすように, 定
数aの値の範囲をそれぞれ定めよ。
(1) 極値をもつ。
(2) 常に単調に増加する。
+
(1) f'(x) =3x2+2ax+2
f(x) が極値をもっための必要十分条件は, 2次方程式
f'(x) =D0 すなわち
が異なる2つの実数解をもつことである。
解答
をもっ
3x2+2ax+2=0
fx
の実装
①の判別式をDとすると
D
=α'-3-2=a°-6
4
のが異なる2つの実数解をもつのは, D>0 のときであるから
a?-6>0
a<-V6, V6 <a
これを解いて
(2) f(x) が常に単調に増加するための必要十分条件は,f'(x) >0が常に
成り立つことである。
f'(x) の x? の係数は正であるから, f'(x) 20が常に成り立つのは, 0
が実数解を1つっだけもつか, または実数解をもたないときである。
条件を満たすのは, D<0のときであるから
これを解いて -V6sas<6
参考 f(x) が極値をもたないような定数aの値の範囲は, (2) と同じで
-V6<aハ<6 となる。
a?-6<0
土 404

Answer 1

なこ

読みづらかったら言って下さい🙇‍♀️

浪

つまり、仮にこのような関数があった場合でも常に単調増加と言えるということですか？

なこ

下の問題のように関数f(x)がx＝aで連続であってもx＝aで微分可能とは限らないです！
作って頂いたグラフの関数が未知ですが例えば点(4,4)でf(x)は微分可能でなくそもそもf‘(x)が存在しないということもあり得ます。
なので絶対値の関数などの怪しい点ではいちいち連続か微分可能かを調べる必要があります…

なこ

f‘(x)が常に存在し(区間の端は存在しないけど)常にf’(x)≧0である時にf(x)は単調増加であるといえますね！

浪

ちょっとまだ理解できないので割り切って演習してみます
丁寧にありがとうございました🙏🙏