✨ ベストアンサー ✨
この場合、指数関数に限られます。
ありがとうございます！！！
x’(t)=αx(t) の特殊解 x(t)=c･e^{αt} ( c は任意の実数) を見つけてから，この特殊解がすべての解をつくすことを示す流れですね。
この微分方程式の解を x=φ(t) とおき，初期値を (x₀, t₀) と設定すると， c の任意性から x(t)=c･e^{αt} が初期値 (x₀, t₀) をもつように c をおける🙂
そうすると，解は延長不能であることと， 2 つの解の初期値が一致することから，
φ(t) と c･e^{αt} は恒等的に等しいことがわかる，
という感じかな？
x’(t)=x(t) となるのは α=1 の特別な場合で，
このときこの微分方程式の解は x(t)=c･e^t ( c は任意の実数 ) に限られると分かりますね！
解の一意性を証明はかなり難しいです。
ポントリャーギンの常微分方程式から関連ページをアップしておきます。