数学
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解決済み
楕円積分です。
(55)の左辺から右辺の計算がどうにも上手く行きません。
詳しく式変形を教えていただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。
10|第1章 楕円の弧長
1-2
V1+
であるから(34) と比べて
2
1+
(46)
sin p =
COS φ =
であることがわかる. したがって,また
1+2
1
1- sin° ゆ = 21+
(47)
であり,微分式として
0)
(48)
dp =
1+2
も得る。したがって
-2dz
V1+z
dp
(49)
V1-- sin°。
2
故に(46)により cos φ= ¥2z/V1+*
「ー(あ)
C1
dz
V1+
F
2
(50)
なお(42)で定義されるzの意味を考えよう.この式で定義される(x, y)
は考えているレムニスケートの上にあるが, また(42) からわかるように
x+y= 2a1+
(51)
であるから,点(x, y) は
2+° = az(x+y),
(52)
あるいは
az
az
2
az
(53)
の上にある。これは円であって, 中心は(az/2, az/2) にあり, 原点でレムニス
く(カフー、
ケートに接する。えを大きくすると円は大きくなる. を与えたとき, この円
とレムニスケートの原点以外の交点が(42) で定められる点(x,y) なのであ
る(図5参照)。
(ii) いま
n
=1-
とおくと
(54)
(49)
(55)
de
ホー
dn
ローー)
分
さらに
(56)
7 = sin p
とおくと
co)
『ュ-
de 1
dp
*π/2
1
1-
sin° p
2
1
(57)
T
V2'2
ただし,c= cos φ とおいた. したがって
「ュー )
de
1
(58)
ホー
de
ユー
1
-K
V2
(59)
あるいは,また(58) と (50) とを比べて
de
V1-
dz
(60)
り=
V2
の関係を得る.ただし(46) により
22
V1+
(61)
C= cos p =
には
dx
数でわ
したがってレムニスケートの弧長は によっても, また
dz
V1+
de
*I
によっても表わせる。ガウス (Gauss) は(z) = の逆関数を考え
た。これをガウスのレムニスケート関数という.
(ii) 極座標では
ds= (dr+(r d0) = /1+(rYdr
de\?
dr
(62)
である。レムニスケート (34) に対しては
--sin20= -Vα-r.
(63)
r
do
したがって
E
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ありがとうございます！
お恥ずかしいながらなんかドハマリしてしまいました。
２行目の変数変換の分母のxを抜かして計算してしまっておりました。(;ﾟロﾟ)
すっきりしました。 ありがとうございました！