Question

てすら

2階線形微分方程式の問題です。
画像2枚目のように計算したのですが、解答は正しいでしょうか？p(実数)があるため、逆三角関数を綺麗にできずに困っています。

III. z の関数y= y(z) に対する次の線形常微分方程式を考える。
(1-y
dz
dz?
dy
-+アy=0.
ここでpは定数である。変数変換x= sin0 を用いて一般解 y(z) を求めよ。
IV.変数 の2次以下の多項式 f(a) 全体のなす複素線形空間をV とする。

de
dz
そ-sine d
10
Cose
dy
さ 寄開 回 びお主の職X
do dy
dE do
d4
Cose ddo
ン
ニ
回 ーソゼア
dy
dz
金(金)
こ
dz
de
d
d 26d2
d4
こ
第参)
s14¢ dy
est d6
I dy
Cos6
ニ
Cost
sihe dy
そ
ニ
Cos36
do
cos'y d62
Xト
sih6 dy
(1-s6t6)
ト dy
548 cose do
f
Cosse do
cosPo dot
cos'8
(岩)
d'y
d6 + 2y- 0
(H85
特性を社式 ad に0
2 = 22
一般
4161- Cicos (P67+ i Ca Sia (pt)
CGcca:冷数)
4(2): Cccos (Asiat2)ti Crsin (Psin'z)
く

数学 微分方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

これでいいと思います。
iC2を新しく定数と置くのが自然だと思います。

z=cosθとして解くと(pが自然数のとき)チェビシェフの多項式が出てくるようです。

チェビシェフ関数 チェビシェフ多項式

Crystal Clear

http://math-functions-1.watson.jp/sub1_spec_200.html

哲治

p=自然数の時、もともとこの形ってチェビシェフの微分方程式ですよね。
確かフロベニウスの級数解法が載ってたのですが、こんな簡単な置換で最後は単振動の微分方程式に帰着されるなんて驚きです！

てすら

チェビシェフ多項式を示唆していたんですね。
一般解が煩雑ではないかと不安だったのですが安心しました。ありがとうございます。

Crystal Clear

私もこの置換は知りませんでした。

z=sinθだと|z|<=1でしか置換できないので、
z>1ではz=cosh(θ)
z<1ではz=-cosh(θ)
と置換してみると、同様に簡単に解けて、
C1 Cosh[p (ArcCosh[z])] + C2 Sinh[p (ArcCosh[z])]　(z>1)
C1 Cosh[p (ArcCosh[-z])] + C2 Sinh[p (ArcCosh[-z])] (z<-1)
となりました。
どうやらこれらもチェビシェフの多項式を生成するようです。
http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/chebyshev-polinomo.html.ja
真面目に考えてないけど、coshのn倍角の公式がcosのn倍角の公式と同型(θ→iθ)だからだと思います。
ただ、今回のzはたぶん複素数を想定していてθも複素数が想定されているので、すべて統一的にz=cosθで済むのかもしれません。

哲治

なるほどです。奥深いですね！
ここらの特殊関数絡みの微分方程式って難しいですよね。数学科よりも物理学科で頻出かも知れませんね。
ベッセル関数、ガウスの超幾何関数、エルミート、ラーゲルとか微分方程式とか積分方程式(積分変換)とか数学科でも深入りするとどこまでもキリがないですよね。
(;ﾟロﾟ)
そもそも常微分方程式論って一変数なのにめちゃくちゃ奥深くてキリがないですよね。